Poloměr stability - Stability radius

Poloměr stability objektu (systém, funkce, matice, parametr) v daném nominálním bodě je poloměr největšího míč, se středem v nominálním bodě, přičemž všechny prvky splňují předem stanovené podmínky stability. Obrázek této intuitivní představy je tento:

kde ${ displaystyle { hat {p}}}$ označuje nominální bod, ${ displaystyle P}$ označuje prostor všech možných hodnot objektu ${ displaystyle p}$a stínovaná oblast, ${ Displaystyle P (s)}$, představuje množinu bodů, které splňují podmínky stability. Poloměr modrého kruhu, zobrazený červeně, je poloměr stability.

Abstraktní definice

Formální definice tohoto konceptu se liší v závislosti na oblasti použití. Následující abstraktní definice je docela užitečná^[1][2]

${ displaystyle { hat { rho}} ({ hat {p}}): = max { rho geq 0: p v P (s), forall p v B ( rho , { hat {p}}) }}$

kde ${ displaystyle B ( rho, { hat {p}})}$ označuje uzavřený míč poloměru ${ displaystyle rho}$ v ${ displaystyle P}$ se středem na ${ displaystyle { hat {p}}}$.

Dějiny

Vypadá to, že koncept byl vynalezen na počátku 60. let.^[3][4] V 80. letech se stala populární v teorii řízení^[5] a optimalizace.^[6] Je široce používán jako model lokální robustnosti proti malým poruchám v dané nominální hodnotě objektu zájmu.

Vztah k Waldovu modelu maximinů

Ukázalo se to^[2] že model poloměru stability je instancí Waldův model Maximin. To znamená,

${ Displaystyle max { rho geq 0: p in P (s), forall p in B ( rho, { hat {p}}) } equiv max _ { rho geq 0} min _ {p v B ( rho, { hat {p}})} f ( rho, p)}$

kde

${ displaystyle f ( rho, p) = left {{ start {pole} {cc} rho &, p v P (s) - infty &, p notin P (s ) end {pole}} vpravo.}$

Velký trest (${ displaystyle - infty}$) je zařízení k vynucení ${ displaystyle max}$ hráč nesmí narušovat jmenovitou hodnotu za poloměrem stability systému. Je to známka toho, že model stability je spíše modelem globální stability / robustnosti než globálním.

Teorie rozhodování o mezerách

Teorie rozhodování o mezerách je nedávná nepravděpodobná teorie rozhodování. Tvrdí se, že se radikálně liší od všech současných teorií rozhodování za nejistoty. Ale ukázalo se to^[2] že jeho robustní model, jmenovitě

${ displaystyle { hat { alpha}} (q, { tilde {u}}): = max { alpha geq 0: r_ {c} leq R (q, u), forall u v U ( alpha, { tilde {u}}) }}$

je ve skutečnosti model poloměru stability charakterizovaný jednoduchým požadavkem na stabilitu formuláře ${ displaystyle r_ {c} leq R (q, u)}$ kde ${ displaystyle q}$ označuje posuzované rozhodnutí, ${ displaystyle u}$ označuje parametr zájmu, ${ displaystyle { tilde {u}}}$ označuje odhad skutečné hodnoty ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle U ( alpha, { tilde {u}})}$ označuje kouli o poloměru ${ displaystyle alpha}$ se středem na ${ displaystyle { tilde {u}}}$.

Vzhledem k tomu, že modely s poloměrem stability jsou navrženy tak, aby zvládly malé odchylky ve jmenovité hodnotě parametru, model robustnosti informační mezery měří místní robustnost rozhodnutí v sousedství odhadu ${ displaystyle { tilde {u}}}$.

Sniedovich^[2] tvrdí, že z tohoto důvodu je teorie nevhodná pro řešení závažné nejistoty charakterizované špatným odhadem a obrovským prostorem nejistoty.

Alternativní definice

Existují případy, kdy je pohodlnější definovat poloměr stability mírně odlišný. Například v mnoha aplikacích v teorii řízení je poloměr stability definován jako velikost nejmenší destabilizující poruchy ve jmenovité hodnotě sledovaného parametru.^[7] Obrázek je tento:

Formálněji

${ displaystyle { hat { rho}} (q): = min _ {p notin P (s)} dist (p, { hat {p}})}$

kde ${ displaystyle dist (p, { hat {p}})}$ označuje vzdálenost z ${ displaystyle p v P}$ z ${ displaystyle { hat {p}}}$.

Poloměr stability funkcí

The poloměr stability a spojitá funkce F (v funkční prostor F) s ohledem na otevřeno doména stability D je vzdálenost mezi F a soubor nestabilních funkcí (s ohledem na D). Říkáme, že funkce je stabilní s ohledem na D pokud je jeho spektrum v D. Zde je pojem spektra definován případ od případu, jak je vysvětleno níže.

Definice

Formálně, pokud označíme množinu stabilních funkcí pomocí S (D) a poloměr stability o r (f, D), pak:

${ displaystyle r (f, D) = inf _ {g v C} { | g |: f + g notin S (D) },}$

kde C je podmnožinou F.

Všimněte si, že pokud F je již nestabilní (s ohledem na D), pak r (f, D) = 0 (tak dlouho jak C obsahuje nulu).

Aplikace

Pojem poloměr stability se obecně používá speciální funkce tak jako polynomy (spektrum je pak kořeny) a matice (spektrum je vlastní čísla ). Případ kde C je správná podmnožina F nám umožňuje uvažovat o strukturovaných poruchy (např. pro matici bychom mohli potřebovat odchylky pouze v posledním řádku). Je to zajímavá míra robustnosti, například v teorie řízení.

Vlastnosti

Nechat F být (komplex ) polynom stupně n, C = F být množina polynomů stupně menšího než (nebo rovného) n (které zde identifikujeme se sadou ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n + 1}}$ koeficientů). Bereme pro D otevřené jednotka disku, což znamená, že hledáme vzdálenost mezi polynomem a množinou Schura stabilní polynomy. Pak:

${ displaystyle r (f, D) = inf _ {z v částečné D} { frac {| f (z) |} { | q (z) |}},}$

kde q obsahuje každý základní vektor (např. ${ displaystyle q (z) = (1, z, ldots, z ^ {n})}$ když q je obvyklý výkonový základ). Tento výsledek znamená, že poloměr stability je svázán s minimální hodnotou F dosáhne na jednotkový kruh.

Příklady

• Polynom ${ displaystyle f (z) = z ^ {8} -9/10}$ (jehož nuly jsou 8. kořeny 0.9) má poloměr stability 1/80, pokud q je mocenský základ a norma je normou nekonečna. Musí tedy existovat polynom G s (nekonečno) normou 1/90 takovou f + g má (alespoň) kořen na kruhu jednotek. Takový G je například ${ displaystyle g (z) = - 1/90 součet _ {i = 0} ^ {8} z ^ {i}}$. Vskutku, (f + g) (1) = 0 a 1 je na jednotkovém kruhu, což znamená, že f + g je nestabilní.

Viz také

• stabilní polynom
• Waldův model Maximin

Reference