Cik-cak lemma - Zig-zag lemma - Wikipedia

v matematika, zejména homologická algebra, klikaté lemma tvrdí existenci konkrétního dlouhá přesná sekvence v homologické skupiny jisté řetězové komplexy. Výsledek je platný v každém abelianská kategorie.

Prohlášení

V kategorii abelianů (například kategorie abelianské skupiny nebo kategorie vektorové prostory nad daným pole ), nechť ${ displaystyle ({ mathcal {A}}, částečné _ { odrážky}), ({ mathcal {B}}, částečné _ { odrážky '')}$ a ${ displaystyle ({ mathcal {C}}, částečný _ { kulka} '')}$ být řetězové komplexy, které zapadají do následujících krátká přesná sekvence:

${ displaystyle 0 longrightarrow { mathcal {A}} { stackrel { alpha} { longrightarrow}} { mathcal {B}} { stackrel { beta} { longrightarrow}} { mathcal {C} } longrightarrow 0}$

Taková sekvence je zkratka pro následující komutativní diagram:

kde jsou řádky přesné sekvence a každý sloupec je a řetězový komplex.

Cikcak lemma tvrdí, že existuje sbírka hraničních map

${ displaystyle delta _ {n}: H_ {n} ({ mathcal {C}}) longrightarrow H_ {n-1} ({ mathcal {A}}),}$

díky tomu je následující sekvence přesná:

Mapy ${ displaystyle alpha _ {*} ^ {}}$ a ${ displaystyle beta _ {*} ^ {}}$ jsou obvyklé mapy vyvolané homologií. Hraniční mapy ${ displaystyle delta _ {n} ^ {}}$ jsou vysvětleny níže. Název lemmatu vychází ze „klikatého“ chování map v pořadí. Varianta cik-cak lemmatu je běžně známá jako „hadí lemma "(extrahuje podstatu důkazu cikcakového lemmatu uvedeného níže).

Konstrukce hraničních map

Mapy ${ displaystyle delta _ {n} ^ {}}$ jsou definovány pomocí standardního argumentu pronásledování diagramu. Nechat ${ displaystyle c v C_ {n}}$ představují třídu v ${ displaystyle H_ {n} ({ mathcal {C}})}$, tak ${ displaystyle částečné _ {n} '' (c) = 0}$. Přesnost řádku z toho vyplývá ${ displaystyle beta _ {n} ^ {}}$ je surjektivní, takže nějaké musí existovat ${ displaystyle b v B_ {n}}$ s ${ displaystyle beta _ {n} ^ {} (b) = c}$. Komutativitou diagramu

${ displaystyle beta _ {n-1} částečné _ {n} '(b) = částečné _ {n}' ' beta _ {n} (b) = částečné _ {n}' '(c ) = 0.}$

Přesností,

${ displaystyle částečné _ {n} '(b) in ker beta _ {n-1} = mathrm {im} alpha _ {n-1}.}$

Tedy od té doby ${ displaystyle alpha _ {n-1} ^ {}}$ je injekční, existuje jedinečný prvek ${ displaystyle a v A_ {n-1}}$ takhle ${ displaystyle alpha _ {n-1} (a) = částečné _ {n} '(b)}$. Toto je cyklus, protože ${ displaystyle alpha _ {n-2} ^ {}}$ je injekční a

${ displaystyle alpha _ {n-2} částečné _ {n-1} (a) = částečné _ {n-1} ' alpha _ {n-1} (a) = částečné _ {n- 1} ' částečné _ {n}' (b) = 0,}$

od té doby ${ displaystyle částečné ^ {2} = 0}$. To znamená ${ displaystyle částečné _ {n-1} (a) v ker alfa _ {n-2} = {0 }}$. To znamená ${ displaystyle a}$ je cyklus, takže představuje třídu v ${ displaystyle H_ {n-1} ({ mathcal {A}})}$. Nyní můžeme definovat

${ displaystyle delta _ {} ^ {} [c] = [a].}$

S definovanými hraničními mapami lze ukázat, že jsou dobře definované (tj. Nezávislé na možnostech C a b). Důkaz používá argumenty honící diagram podobné těm výše. Takové argumenty se také používají k prokázání, že sekvence v homologii je u každé skupiny přesná.

Viz také

• Mayer – Vietorisova sekvence

Reference

• Hatcher, Allen (2002). Algebraická topologie. Cambridge University Press. ISBN  0-521-79540-0.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556
• Munkres, James R. (1993). Prvky algebraické topologie. New York: Westview Press. ISBN  0-201-62728-0.