Schattenova norma - Schatten norm
tento článek potřebuje další citace pro ověření.listopad 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika konkrétně funkční analýza, Schatten norma (nebo Schatten – von-Neumannova norma) vzniká jako zobecnění p- integrovatelnost podobná stopová třída norma a Hilbert – Schmidt norma.
Definice
Nechat , být Hilbertovy prostory a (lineární) ohraničený operátor z na . Pro , definujte Schattenovu p-normu tak jako
Li je kompaktní a jsou tedy oddělitelné
pro the singulární hodnoty z , tj. vlastní čísla hermitovského operátora .
Vlastnosti
V následujícím textu formálně rozšiřujeme rozsah na s úmluvou, že je normou operátora. Duální index do je tedy .
- Schattenovy normy jsou jednotně invariantní: pro unitární operátory a a ,
- Uspokojují Hölderova nerovnost: pro všechny a takhle a operátory definované mezi Hilbertovými prostory a respektive
(U matic to lze zobecnit na pro .[1])
- Sub-multiplikativita: Pro všechny a operátory definované mezi Hilbertovými prostory a respektive
- Monotónnost: Pro ,
- Dualita: Nechte být konečně-dimenzionální Hilbertovy prostory, a takhle , pak
kde označuje Hilbert – Schmidtův vnitřní produkt.
Poznámky
Všimněte si toho je Hilbert-Schmidtova norma (viz Operátor Hilbert – Schmidt ), je norma třídy trasování (viz stopová třída ), a je normou operátora (viz norma operátora ).
Pro funkce je příkladem a kvazinorm.
Operátor, který má konečnou Schattenovu normu, se nazývá a Provozovatel třídy Schatten a prostor takových operátorů je označen . S touto normou je Banachův prostor a Hilbertův prostor pro p = 2.
Dodržujte to algebra kompaktní operátory. To vyplývá ze skutečnosti, že pokud je součet konečný, spektrum bude konečné nebo spočetné s počátkem jako mezním bodem, a tedy s kompaktním operátorem (viz kompaktní operátor na Hilbertově prostoru ).
Pouzdro p = 1 se často označuje jako jaderná norma (také známý jako stopová norma, nebo Ky Fan Norma[2])
Viz také
Reference
- ^ Ball, Keith; Carlen, Eric A .; Lieb, Elliott H. (1994). "Ostré uniformní konvexity a hladkosti nerovností pro stopové normy". Inventiones Mathematicae. 115: 463–482. doi:10.1007 / BF01231769.
- ^ Fan, Ky. (1951). "Maximální vlastnosti a nerovnosti pro vlastní čísla zcela spojitých operátorů". Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických. 37 (11): 760–766. Bibcode:1951PNAS ... 37..760F. doi:10.1073 / pnas.37.11.760. PMC 1063464. PMID 16578416.
- Rajendra Bhatia, maticová analýza, sv. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
- John Watrous Teorie kvantové informace, 2.3 Normy operátorů, skripta, University of Waterloo, 2011.
- Joachim Weidmann, Lineární operátory v Hilbertových prostorech, sv. 20. Springer, New York, 1980.