Hopfova algebra permutací - Hopf algebra of permutations

V algebře je Malvenuto – Poirier – Reutenauer Hopfova algebra permutací nebo MPR Hopfova algebra je Hopfova algebra se základem všech prvků všech konečných symetrických skupin Sn, a je nekomutativním analogem Hopfova algebra symetrických funkcí. Je to obojí volný, uvolnit jako algebra a odstupňovanécofree jako odstupňovaný uhlígebra, takže je v určitém smyslu pokud možno komutativní nebo společná. To bylo představeno Malvenuto & Reutenauer (1994) a studoval Poirier & Reutenauer (1995).

Definice

Podkladové bezplatná abelianská skupina MPR algebry má základ skládající se z disjunktního spojení symetrických skupin Sn pro n = 0, 1, 2, ...., což lze považovat za permutace.

Identita 1 je prázdná permutace a počet bere prázdnou permutaci na 1 a ostatní na 0.

Produkt dvou permutací (A1,...,Am) a (b1,...,bn) v MPR je dán zamíchat produkt (A1,...,Am) ш (m + b1,...,m + bn).

Koprodukt permutace A na m body jsou dány ΣA=b*C Svatý(b) ⊗ st (C), kde součet přesahuje m + 1 způsobů psaní A (považováno za posloupnost m celá čísla) jako zřetězení dvou sekvencí b a C, a sv (b) je standardizace b, kde jsou prvky posloupnosti b jsou redukovány na množinu formulářů {1, 2, ...,n} při zachování jejich pořadí.

Protipod má nekonečný řád.

Vztah k jiným algebrám

Hopfova algebra permutací se týká prstenců symetrické funkce, kvazimetrické funkce, a nekomutativní symetrické funkce, (označené Sym, QSym a NSym), jak je znázorněno v následujícím komutativním diagramu. Dualita mezi QSym a NSym je zobrazena v hlavní úhlopříčce tohoto diagramu.

(Vztah mezi QSym a sousedními sousedy)

Reference

  • Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2010), Algebry, prsteny a moduly. Lež algebry a Hopfovy algebryMatematické průzkumy a monografie 168, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN  978-0-8218-5262-0, PAN  2724822, Zbl  1211.16023
  • Malvenuto, Claudia; Reutenauer, Christophe (1995), „Dualita mezi kvazi-symetrickými funkcemi a algebrou sestupu Solomonova“, J. Algebra, 177 (3): 967–982, doi:10.1006 / jabr.1995.1336, PAN  1358493
  • Poirier, Stéphane; Reutenauer, Christophe (1995), „Algèbres de Hopf de tableaux“, Ann. Sci. Matematika. Québec, 19 (1): 79–90, PAN  1334836