Shephardsovo lemma - Shephards lemma - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Shephardovo lemma“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Shephardovo lemma je hlavním výsledkem v mikroekonomie které mají aplikace v teorie firmy a v spotřebitelská volba.^[1] The lemma uvádí, že pokud indiferenční křivky výdajů nebo nákladová funkce jsou konvexní, pak bod minimalizace nákladů daného zboží (${ displaystyle i}$) s cena ${ displaystyle p_ {i}}$ je jedinečný. Myšlenka je, že a spotřebitel koupí jedinečné ideální množství každé položky, aby se minimalizovala cena za získání určité úrovně nástroj vzhledem k ceně zboží v trh.

Lema je pojmenována po Ronald Shephard kdo dal důkaz pomocí vzorce vzdálenosti ve své knize Teorie nákladových a produkčních funkcí (Princeton University Press, 1953). Ekvivalentní výsledek v kontextu teorie spotřebitele nejprve odvodil Lionel W. McKenzie v roce 1957.^[2] Uvádí, že částečné deriváty výdajů fungují s ohledem na ceny zboží rovně Hicksiánské poptávkové funkce pro příslušné zboží. Podobné výsledky již odvodil John Hicks (1939) a Paul Samuelson (1947).

Definice

v spotřebitel Teorie, Shephardovo lemma říká, že poptávka pro konkrétní dobro ${ displaystyle i}$ pro danou úroveň užitečnosti ${ displaystyle u}$ a dané ceny ${ displaystyle mathbf {p}}$, se rovná derivaci výdajová funkce s ohledem na cenu příslušného zboží:

${ displaystyle h_ {i} ( mathbf {p}, u) = { frac { částečné e ( mathbf {p}, u)} { částečné p_ {i}}}}$

kde ${ displaystyle h_ {i} ( mathbf {p}, u)}$ je Hicksian poptávka navždy ${ displaystyle i}$, ${ displaystyle e ( mathbf {p}, u)}$ je výdajová funkce, a obě funkce jsou z hlediska cen (a vektor ${ displaystyle mathbf {p}}$) a užitečnost ${ displaystyle u}$.

Stejně tak v teorie firmy, lemma dává podobnou formulaci pro podmíněná poptávka po faktorech pro každý vstupní faktor: derivace nákladové funkce ${ displaystyle c ( mathbf {w}, y)}$ s ohledem na faktorovou cenu:

${ displaystyle x_ {i} ( mathbf {w}, y) = { frac { částečné c ( mathbf {w}, y)} { částečné w_ {i}}}}$

kde ${ displaystyle x_ {i} ( mathbf {w}, y)}$ je podmíněná poptávka po faktorech pro vstup ${ displaystyle i}$, ${ displaystyle c ( mathbf {w}, y)}$ je nákladová funkce a obě funkce jsou vyjádřeny cenami faktorů (a vektor ${ displaystyle mathbf {w}}$) a výstup ${ displaystyle y}$.

Ačkoli Shephardův původní důkaz používal vzorec vzdálenosti, moderní důkazy o Shephardově lematu používají věta o obálce.^[3]

Důkaz rozlišitelného případu

Důkaz je uveden pro dva dobré případy pro snadnou notaci. Výdajová funkce ${ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u)}$ je hodnotová funkce omezeného optimalizačního problému charakterizovaného následujícím Lagrangeovým:

${ displaystyle { mathcal {L}} = p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} + lambda (u-U (x_ {1}, x_ {2}))}$

Podle věta o obálce deriváty hodnotové funkce ${ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u)}$ s ohledem na parametr ${ displaystyle p_ {1}}$ jsou:

${ displaystyle { frac { částečné e} { částečné p_ {1}}} = { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné p_ {1}}} = x_ {1} ^ {h}}$

kde ${ displaystyle x_ {1} ^ {h}}$ je minimalizátor (tj. funkce Hicksian Poptávka pro dobrý 1). Tím je důkaz dokončen.

aplikace

Shephardovo lemma dává vztah mezi výdajovými (nebo nákladovými) funkcemi a Hicksianovou poptávkou. Lemma může být znovu vyjádřena jako Royova identita, což dává vztah mezi nepřímá užitková funkce a odpovídající Marshallova poptávková funkce.

Viz také

• Hotellingovo lemma
• Konvexní preference

Reference

Další čtení

• Beavis, Brian; Dobbs, Ian M. (1990). „Úvod do teorie duality“. Teorie optimalizace a stability pro ekonomickou analýzu. New York: Cambridge University Press. 117–133. ISBN  0-521-33605-8.