Výdajová funkce - Expenditure function

v mikroekonomie, výdajová funkce dává minimální částku peněz, kterou jednotlivec potřebuje utratit, aby dosáhl určité úrovně nástroj, vzhledem k tomu, užitková funkce a ceny dostupného zboží.

Formálně, pokud existuje obslužná funkce ${ displaystyle u}$ který popisuje preference před n komodity, výdajová funkce

${ displaystyle e (p, u ^ {*}): { textbf {R}} _ {+} ^ {n} times { textbf {R}} rightarrow { textbf {R}}}$

říká, jaké množství peněz je potřeba k dosažení užitku ${ displaystyle u ^ {*}}$ pokud n ceny jsou dány cenovým vektorem ${ displaystyle p}$Tuto funkci definuje

${ displaystyle e (p, u ^ {*}) = min _ {x v geq (u ^ {*})} p cdot x}$

kde

${ displaystyle geq (u ^ {*}) = {x v { textbf {R}} _ {+} ^ {n}: u (x) geq u ^ {*} }}$

je sada všech balíčků, které poskytují užitečnost přinejmenším stejně dobrou jako ${ displaystyle u ^ {*}}$.

Vyjádřeno rovnocenně, jednotlivec minimalizuje výdaje ${ displaystyle x_ {1} p_ {1} + tečky + x_ {n} p_ {n}}$ s výhradou minimálního omezení užitku ${ displaystyle u (x_ {1}, tečky, x_ {n}) geq u ^ {*},}$ dávat optimální množství ke konzumaci různého zboží jako ${ displaystyle x_ {1} ^ {*}, tečky x_ {n} ^ {*}}$ jako funkce ${ displaystyle u ^ {*}}$ a ceny; pak je výdajová funkce

${ displaystyle e (p_ {1}, dots, p_ {n}; u ^ {*}) = p_ {1} x_ {1} ^ {*} + dots + p_ {n} x_ {n} ^ {*}.}$

Výdaje a nepřímá užitečnost

Výdajová funkce je inverzní k nepřímá pomůcka funkce jsou udržovány konstantní. Tj. Pro každý cenový vektor ${ displaystyle p}$ a úroveň příjmů ${ displaystyle I}$:^[1]:106

${ displaystyle e (p, v (p, I)) equiv I}$

Příklad

Předpokládejme, že užitná funkce je Cobb-Douglasova funkce ${ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {. 6} x_ {2} ^ {. 4},}$ který generuje funkce poptávky^[2]

${ displaystyle x_ {1} (p_ {1}, p_ {2}, I) = { frac {.6I} {p_ {1}}} ; ; ; ; { rm {and}} ; ; ; x_ {2} (p_ {1}, p_ {2}, I) = { frac {.4I} {p_ {2}}},}$

kde ${ displaystyle I}$ je příjem spotřebitele. Jedním ze způsobů, jak najít výdajovou funkci, je nejprve najít nepřímá užitková funkce a pak ji převraťte. Funkce nepřímého užitku ${ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, I)}$ se zjistí nahrazením veličin v užitné funkci funkcemi poptávky takto:

${ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, I) = u (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*}) = (x_ {1} ^ {*}) ^ {.6} (x_ {2} ^ {*}) ^ {. 4} = left ({ frac {.6I} {p_ {1}}} right) ^ {. 6} left ({ frac {.4I} {p_ {2}}} vpravo) ^ {. 4} = (. 6 ^ {. 6} +. 4 ^ {. 4}) I ^ {. 6 + .4} p_ {1 } ^ {-. 6} p_ {2} ^ {-. 4} = Kp_ {1} ^ {-. 6} p_ {2} ^ {-. 4} I,}$

kde ${ displaystyle K = (. 6 ^ {. 6} +. 4 ^ {. 4}).}$ Od té doby ${ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u) = e (p_ {1}, p_ {2}, v (p_ {1}, p_ {2}, I)) = I}$ když spotřebitel optimalizuje, můžeme invertovat nepřímou užitnou funkci a najít výdajovou funkci:

${ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u) = (1 / K) p_ {1} ^ {. 6} p_ {2} ^ {. 4} u,}$

Alternativně lze výdajovou funkci najít řešením problému minimalizace ${ displaystyle (p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2})}$ s výhradou omezení ${ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) geq u ^ {*}.}$ Tím se získají funkce podmíněné poptávky ${ displaystyle x_ {1} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, u ^ {*})}$ a ${ displaystyle x_ {2} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, u ^ {*})}$ a výdajová funkce je pak

${ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, u ^ {*}) = p_ {1} x_ {1} ^ {*} + p_ {2} x_ {2} ^ {*}}$

Viz také

• Problém s minimalizací výdajů
• Funkce Hicksian poptávky
• Slutsky rovnice
• Problém s maximalizací užitku
• Omezení rozpočtu
• Sada spotřeby

Reference

• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D .; Green, Jerry R. (2007). Mikroekonomická teorie. str.59–60. ISBN  0-19-510268-1.
• Mathis, Stephen A .; Koscianski, Janet (2002). Mikroekonomická teorie: integrovaný přístup. Horní sedlo: Prentice Hall. str. 132–133. ISBN  0-13-011418-9.
• Varian, Hal R. (1984). Mikroekonomická analýza (Druhé vydání.). New York: W. W. Norton. s. 121–123. ISBN  0-393-95282-7.