Shearlet - Shearlet

V aplikované matematické analýze náramky jsou multiscale framework, který umožňuje efektivní kódování anizotropní funkce v vícerozměrný problémové třídy. Původně byly šátky představeny v roce 2006^[1] pro analýzu a řídká aproximace funkcí ${ displaystyle f in L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$. Jsou přirozeným rozšířením vlnky, aby se přizpůsobila skutečnosti, že vícerozměrné funkce jsou obvykle řízeny anizotropními rysy, jako jsou hrany v obrazech, protože vlnky jako izotropní objekty nejsou schopny takové jevy zachytit.

Shearlets jsou konstruovány parabolicky škálování stříhání a překlad aplikováno na pár generující funkce. V jemných měřítcích jsou v zásadě podporovány hubenými a směrovými hřebeny podle zákona o parabolickém škálování, který zní délka² ≈ šířka. Podobně jako u waveletů vznikají z afinní skupina a umožnit jednotné řešení kontinua a digitální situace vedoucí k věrným implementacím. Ačkoli nepředstavují ortonormální základ pro ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$, stále tvoří rám umožňující stabilní rozšíření libovolných funkcí ${ displaystyle f in L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$.

Jednou z nejdůležitějších vlastností srdcovek je jejich schopnost poskytovat optimálně řídké aproximace (ve smyslu optimality v ^[2]) pro karikaturní funkce ${ displaystyle f}$. V zobrazovacích vědách karikaturní funkce slouží jako model pro anizotropní vlastnosti a jsou kompaktně podporovány v ${ displaystyle [0,1] ^ {2}}$ zatímco je ${ displaystyle C ^ {2}}$ kromě uzavřeného po částech ${ displaystyle C ^ {2}}$ křivka singularity s ohraničeným zakřivením. Rychlost rozpadu ${ displaystyle L ^ {2}}$- chyba ${ displaystyle N}$- přiblížení termínu shearlet získané získáním ${ displaystyle N}$ největší koeficienty z expanze shearletů jsou ve skutečnosti optimální až do log-faktoru:^[3][4]

${ displaystyle | f-f_ {N} | _ {L ^ {2}} ^ {2} leq CN ^ {- 2} ( log N) ^ {3}, quad N to infty ,}$

kde konstanta ${ displaystyle C}$ závisí pouze na maximálním zakřivení křivky singularity a maximálních velikostech ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle f ^ {'}}$ a ${ displaystyle f ^ {''}}$. Tato míra přiblížení výrazně zlepšuje to nejlepší ${ displaystyle N}$- termínová přibližná míra vlnek poskytujících pouze ${ displaystyle O (N ^ {- 1})}$ pro takovou třídu funkcí.

Shearlets jsou dosud jediným směrovým reprezentačním systémem, který poskytuje řídkou aproximaci anizotropních funkcí a zároveň poskytuje jednotné zpracování kontinua a digitální sféry, které umožňuje věrnou implementaci. Rozšíření systémů shearlet na ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {d}), d geq 2}$ jsou také k dispozici. Komplexní prezentaci teorie a aplikací shearletů lze najít v.^[5]

Definice

Kontinuální smyčkové systémy

Geometrické účinky parabolického škálování a smyku s několika parametry a a s.

Konstrukce spojitých shearletových systémů je založena na parabolické škálovací matice

${ displaystyle A_ {a} = { begin {bmatrix} a & 0 0 & a ^ {1/2} end {bmatrix}}, quad a> 0}$

jako prostředek ke změně rozlišení, dne smykové matice

${ displaystyle S_ {s} = { begin {bmatrix} 1 & s 0 & 1 end {bmatrix}}, quad s in mathbb {R}}$

jako prostředek ke změně orientace a konečně na překladech ke změně umístění. Ve srovnání s křivky „Shearlets používají namísto rotací smyky, výhodou je, že operátor smyku ${ displaystyle S_ {s}}$ opouští celočíselná mřížka invariant pro případ ${ displaystyle s in mathbb {Z}}$, tj., ${ displaystyle S_ {s} mathbb {Z} ^ {2} subseteq mathbb {Z} ^ {2}.}$ To skutečně umožňuje jednotné zacházení s kontinuem a digitální sférou, čímž je zaručena věrná digitální implementace.

Pro ${ displaystyle psi v L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$ the kontinuální shearletový systém generováno uživatelem ${ displaystyle psi}$ je pak definována jako

${ displaystyle operatorname {SH} _ { mathrm {cont}} ( psi) = { psi _ {a, s, t} = a ^ {3/4} psi (S_ {s} A_ { a} ( cdot -t)) mid a> 0, s in mathbb {R}, t in mathbb {R} ^ {2} },}$

a odpovídající kontinuální shearletová transformace je dáno mapou

${ displaystyle f mapsto { mathcal {SH}} _ { psi} f (a, s, t) = langle f, psi _ {a, s, t} rangle, quad f v L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2}), quad (a, s, t) in mathbb {R} _ {> 0} times mathbb {R} times mathbb {R } ^ {2}.}$

Diskrétní smyčkové systémy

Diskrétní verzi systémů shearlet lze přímo získat z ${ displaystyle operatorname {SH} _ { mathrm {cont}} ( psi)}$ podle diskretizující sada parametrů ${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0} times mathbb {R} times mathbb {R} ^ {2}.}$ Existuje mnoho přístupů, ale ten nejpopulárnější je dán

${ displaystyle {(2 ^ {j}, k, A_ {2 ^ {j}} ^ {- 1} S_ {k} ^ {- 1} m) mid j in mathbb {Z}, k in mathbb {Z}, m in mathbb {Z} ^ {2} } subseteq mathbb {R} _ {> 0} times mathbb {R} times mathbb {R} ^ { 2}.}$

Z toho je diskrétní shearletový systém spojené s generátorem shearletů ${ displaystyle psi}$ je definováno

${ displaystyle operatorname {SH} ( psi) = { psi _ {j, k, m} = 2 ^ {3j / 4} psi (S_ {k} A_ {2 ^ {j}} cdot {} -m) mid j in mathbb {Z}, k in mathbb {Z}, m in mathbb {Z} ^ {2} },}$

a související diskrétní shearletová transformace je definováno

${ displaystyle f mapsto { mathcal {SH}} _ { psi} f (j, k, m) = langle f, psi _ {j, k, m} rangle, quad f v L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2}), quad (j, k, m) in mathbb {Z} times mathbb {Z} times mathbb {Z} ^ {2} .}$

Příklady

Podpora lichoběžníkového kmitočtu klasického shearletu.

Frekvenční obklad (diskrétního) klasického shearletového systému.

Nechat ${ displaystyle psi _ {1} v L ^ {2} ( mathbb {R})}$ být funkcí uspokojující diskrétní Calderónův stav, tj.,

${ displaystyle sum _ {j in mathbb {Z}} | { hat { psi}} _ {1} (2 ^ {- j} xi) | ^ {2} = 1, quad xi in mathbb {R},}$

s ${ displaystyle { hat { psi}} _ {1} v C ^ { infty} ( mathbb {R})}$ a ${ displaystyle operatorname {supp} { hat { psi}} _ {1} subseteq [- { tfrac {1} {2}}, - { tfrac {1} {16}}] pohár [ { tfrac {1} {16}}, { tfrac {1} {2}}],}$ kde ${ displaystyle { hat { psi}} _ {1}}$ označuje Fourierova transformace z ${ displaystyle psi _ {1}.}$ Například si lze vybrat ${ displaystyle psi _ {1}}$ být a Meyerova vlnka Dále nechte ${ displaystyle psi _ {2} v L ^ {2} ( mathbb {R})}$ být takový, že ${ displaystyle { hat { psi}} _ {2} v C ^ { infty} ( mathbb {R}),}$ ${ displaystyle operatorname {supp} { hat { psi}} _ {2} subseteq [-1,1]}$ a

${ displaystyle sum _ {k v Z} | { hat { psi}} _ {2} ( xi + k) | ^ {2} = 1, quad xi in mathbb {R} .}$

Jeden si obvykle vybere ${ displaystyle { hat { psi}} _ {2}}$ být hladký bump funkce. Pak ${ displaystyle psi v L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$ dána

${ displaystyle { hat { psi}} ( xi) = { hat { psi}} _ {1} ( xi _ {1}) { hat { psi}} _ {2} vlevo ({ tfrac { xi _ {2}} { xi _ {1}}} vpravo), quad xi = ( xi _ {1}, xi _ {2}) in mathbb { R} ^ {2},}$

se nazývá a klasický náramek. Je možné ukázat, že odpovídající diskrétní systém shearlet ${ displaystyle operatorname {SH} ( psi)}$ představuje a Parseval rám pro ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$ skládající se z pásmo omezeno funkce.^[5]

Dalším příkladem jsou kompaktně podporováno systémy shearlet, kde je kompaktně podporovaná funkce ${ displaystyle psi v L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$ lze zvolit tak, aby ${ displaystyle operatorname {SH} ( psi)}$ tvoří a rám pro ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$.^[4][6][7][8] V tomto případě všechny prvky shearlet v ${ displaystyle operatorname {SH} ( psi)}$ jsou kompaktně podporovány a poskytují vynikající prostorovou lokalizaci ve srovnání s klasickými shearlety, které jsou omezené pásmem. Ačkoli kompaktně podporovaný systém shearlet obecně netvoří rám Parseval, jakákoli funkce ${ displaystyle f in L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$ může být reprezentován expanzí shearletu kvůli jeho vlastnosti rámu.

Šišky přizpůsobené kuželu

Jednou z nevýhod šarlat definovaných výše je směrové zkreslení prvků šarlatu spojené s velkými parametry střihu. Tento efekt je již rozpoznatelný při frekvenci skládání klasických šarlatů (viz obrázek v části #Příklady ), kde se frekvenční podpora smyčky stále více zarovnává podél ${ displaystyle xi _ {2}}$-osa jako parametr smyku ${ displaystyle s}$ jde do nekonečna. To způsobuje vážné problémy při analýze funkce, jejíž Fourierova transformace je soustředěna kolem ${ displaystyle xi _ {2}}$-osa.

Rozklad frekvenční oblasti na kužele.

K řešení tohoto problému je frekvenční doména rozdělena na nízkofrekvenční část a dvě kuželovité oblasti (viz obrázek):

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {R}} & = left {( xi _ {1}, xi _ {2}) in mathbb {R} ^ {2} mid | xi _ {1} |, | xi _ {2} | leq 1 right }, { mathcal {C}} _ ​​{ mathrm {h}} & = left {( xi _ {1}, xi _ {2}) in mathbb {R} ^ {2} mid | xi _ {2} / xi _ {1} | leq 1, | xi _ { 1} |> 1 right }, { mathcal {C}} _ ​​{ mathrm {v}} & = left {( xi _ {1}, xi _ {2}) in mathbb {R} ^ {2} mid | xi _ {1} / xi _ {2} | leq 1, | xi _ {2} |> 1 right }. end {zarovnáno} }}$

Frekvenční obklady kónicky přizpůsobeného systému střihu generovaného klasickým střihem.

Přidružené kónicky přizpůsobený diskrétní shearletový systém skládá se ze tří částí, z nichž každá odpovídá jedné z těchto frekvenčních domén. Je generována třemi funkcemi ${ displaystyle phi, psi, { tilde { psi}} v L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$ a a mříž vzorkování faktor ${ displaystyle c = (c_ {1}, c_ {2}) in ( mathbb {R} _ {> 0}) ^ {2}:}$

${ displaystyle operatorname {SH} ( phi, psi, { tilde { psi}}; c) = Phi ( phi; c_ {1}) cup Psi ( psi; c) cup { tilde { Psi}} ({ tilde { psi}}; c),}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} Phi ( phi; c_ {1}) & = { phi _ {m} = phi ( cdot {} -c_ {1} m) mid m in mathbb {Z} ^ {2} }, Psi ( psi; c) & = { psi _ {j, k, m} = 2 ^ {3j / 4} psi (S_ {k } A_ {2 ^ {j}} cdot {} -M_ {c} m) mid j geq 0, | k | leq lceil 2 ^ {j / 2} rceil, m in mathbb { Z} ^ {2} }, { tilde { Psi}} ({ tilde { psi}}; c) & = {{ tilde { psi}} _ {j, k, m } = 2 ^ {3j / 4} psi ({ tilde {S}} _ {k} { tilde {A}} _ {2 ^ {j}} cdot {} - { tilde {M}} _ {c} m) mid j geq 0, | k | leq lceil 2 ^ {j / 2} rceil, m in mathbb {Z} ^ {2} }, end {zarovnáno} }}$

s

${ displaystyle { begin {aligned} & { tilde {A}} _ {a} = { begin {bmatrix} a ^ {1/2} & 0 0 & a end {bmatrix}}, ; a> 0, quad { tilde {S}} _ {s} = { begin {bmatrix} 1 & 0 s & 1 end {bmatrix}}, ; s in mathbb {R}, quad M_ {c} = { begin {bmatrix} c_ {1} & 0 0 & c_ {2} end {bmatrix}}, quad { text {and}} quad { tilde {M}} _ {c} = { začátek {bmatrix} c_ {2} & 0 0 & c_ {1} end {bmatrix}}. end {zarovnáno}}}$

Systémy ${ displaystyle Psi ( psi)}$ a ${ displaystyle { tilde { Psi}} ({ tilde { psi}})}$ v zásadě se liší v obrácených rolích ${ displaystyle x_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2}}$. Odpovídají tedy kónickým oblastem ${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{ mathrm {h}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{ mathrm {v}}}$, resp. Nakonec funkce škálování ${ displaystyle phi}$ je spojena s nízkofrekvenční částí ${ displaystyle { mathcal {R}}}$.

Aplikace

• Zpracování obrazu a počítačové vědy ^[5]
  • Odšumění
  • Inverzní problémy
  • Vylepšení obrazu
  • Detekce hrany
  • Malování
  • Oddělení obrazu
• PDE ^[5]
  • Rozlišení sada vlnoplochy
  • Transportní rovnice
• Coorbitova teorie, charakterizace hladké prostory ^[5]
• Diferenciální geometrie: rozmanité učení

Zobecnění a rozšíření

• 3D-Shearlets ^[7][9]
• ${ displaystyle alpha}$-Srdce ^[7]
• Parabolické molekuly ^[10]

Viz také

• Vlnková transformace
• Curveletova transformace
• Contourlet transformace
• Bandeletova transformace
• Chirpletova transformace
• Noiselet transformace

Reference

externí odkazy

• Domovská stránka Gitty Kutyniokové
• Domovská stránka společnosti Demetrio Labate