Kummersova transformace řady - Kummers transformation of series - Wikipedia

V matematice, konkrétně v oboru numerická analýza, Kummerova transformace série je metoda zvyklá na urychlit konvergenci nekonečné řady. Metodu poprvé navrhl Ernst Kummer v roce 1837.

Nechat

${ displaystyle A = sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$

být nekonečný součet, jehož hodnotu chceme vypočítat, a nechť

${ displaystyle B = součet _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n}}$

být nekonečný součet se srovnatelnými výrazy, jejichž hodnota je známa. Li

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = gamma neq 0}$

pak A je snadněji vypočítán jako

${ displaystyle A = gamma B + sum _ {n = 1} ^ { infty} left (1- gamma { frac {b_ {n}} {a_ {n}}} right) a_ {n } = gamma B + sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} - gamma b_ {n}.}$

Příklad

Metodu aplikujeme na zrychlení Leibnizův vzorec pro π:

${ displaystyle 1 , - , { frac {1} {3}} , + , { frac {1} {5}} , - , { frac {1} {7}} , + , { frac {1} {9}} , - , cdots , = , { frac { pi} {4}}.}$

Termíny první skupiny ve dvojicích jako

${ displaystyle 1- left ({ frac {1} {3}} - { frac {1} {5}} right) - left ({ frac {1} {7}} - { frac {1} {9}} vpravo) + cdots}$

${ displaystyle , = 1-2 left ({ frac {1} {15}} + { frac {1} {63}} + cdots right) = 1-2A}$

kde

${ displaystyle A = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {16n ^ {2} -1}}}$

Nechat

${ displaystyle B = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {4n ^ {2} -1}} = { frac {1} {3}} + { frac { 1} {15}} + cdots}$

${ displaystyle , = { frac {1} {2}} - { frac {1} {6}} + { frac {1} {6}} - { frac {1} {10}} + cdots}$

což je teleskopická řada se součtem¹⁄₂.V tomto případě

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} { frac { frac {1} {16n ^ {2} -1}} { frac {1} {4n ^ {2} -1} }} = { frac {4n ^ {2} -1} {16n ^ {2} -1}} = { frac {1} {4}}}$

a Kummerova transformace dává

${ displaystyle A = { frac {1} {4}} cdot { frac {1} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac { 1} {4}} { frac { frac {1} {4n ^ {2} -1}} { frac {1} {16n ^ {2} -1}}} right) { frac {1 } {16n ^ {2} -1}}.}$

To se zjednodušuje na

${ displaystyle A = { frac {1} {8}} - { frac {3} {4}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {(16n ^ { 2} -1) (4n ^ {2} -1)}}}$

který konverguje mnohem rychleji než původní série.

Viz také

• Eulerova transformace

Reference

• Senatov, V.V. (2001) [1994], „Kummerova transformace“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Knopp, Konrad (2013). Teorie a aplikace nekonečných sérií. Courier Corporation. str. 247.
• Keith Conrad. „Urychlení konvergence sérií“ (PDF).
• Kummer, E. (1837). „Eine neue Methode, die numerischen Summen langsam Convergirender Reihen zu berech-nen“. J. Reine Angew. Matematika. (16): 206–214.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Transformace Kummerovy série“. MathWorld.

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.