Lze vypočítat pouze několik podmínek a expanze poruch, obvykle ne více než dva nebo tři a téměř nikdy více než sedm. Výsledná řada je často pomalu konvergentní nebo dokonce divergentní. Těch pár výrazů přesto obsahuje pozoruhodné množství informací, které by vyšetřovatel měl ze všech sil získat. Toto hledisko bylo přesvědčivě popsáno v nádherném článku Shankse (1955), který uvádí řadu úžasných příkladů, včetně několika z mechanika tekutin.
Milton D. Van Dyke (1975) Poruchové metody v mechanice tekutin, str. 202.
je třeba určit. Nejprve částečná částka je definován jako:
a tvoří novou sekvenci . Za předpokladu, že řada konverguje, přiblíží se také k limitu tak jako Shanksova transformace sekvence je nová posloupnost definovaná[2][3]
kde tato sekvence často konverguje rychleji než sekvence Dalšího zrychlení lze dosáhnout opakovaným použitím Shanksovy transformace výpočtem atd.
Všimněte si, že nelineární transformace použitá v Shanksově transformaci je v podstatě stejná jako v Aitkenův delta-kvadratický proces takže stejně jako u Aitkenovy metody je výraz nejvíce vpravo definice (tj. ) je numericky stabilnější než výraz nalevo (tj. ). Jak Aitkenova metoda, tak Shanksova transformace fungují na posloupnosti, ale posloupnost, na které Shanksova transformace pracuje, je obvykle považována za posloupnost částečných součtů, i když na jakoukoli posloupnost lze pohlížet jako na posloupnost částečných součtů.
Příklad
Absolutní chyba jako funkce v dílčích částkách a po provedení Shanksovy transformace jednou nebo několikrát: a Použitá řada je který má přesnou částku
který má přesnou částku π ≈ 3,14159265. Částečný součet má pouze jednocifernou přesnost, zatímco šestimístná přesnost vyžaduje součet přibližně 400 000 výrazů.
V následující tabulce jsou částečné částky Shanksova transformace na nich, stejně jako opakované Shanksovy transformace a jsou uvedeny pro až 12. Obrázek vpravo ukazuje absolutní chybu částečných součtů a Shanksových výsledků transformace, což jasně ukazuje zlepšenou přesnost a míru konvergence.
0
4.00000000
—
—
—
1
2.66666667
3.16666667
—
—
2
3.46666667
3.13333333
3.14210526
—
3
2.89523810
3.14523810
3.14145022
3.14159936
4
3.33968254
3.13968254
3.14164332
3.14159086
5
2.97604618
3.14271284
3.14157129
3.14159323
6
3.28373848
3.14088134
3.14160284
3.14159244
7
3.01707182
3.14207182
3.14158732
3.14159274
8
3.25236593
3.14125482
3.14159566
3.14159261
9
3.04183962
3.14183962
3.14159086
3.14159267
10
3.23231581
3.14140672
3.14159377
3.14159264
11
3.05840277
3.14173610
3.14159192
3.14159266
12
3.21840277
3.14147969
3.14159314
3.14159265
Shanksova transformace již má dvoucifernou přesnost, zatímco původní dílčí součty stanoví pouze stejnou přesnost v Pozoruhodně, má šestimístnou přesnost získanou z opakovaných Shankových transformací aplikovaných na prvních sedm termínů Jak již bylo řečeno, pouze získá šestimístnou přesnost po přibližně 400 000 výrazech.
Motivace
Shanksova transformace je motivována pozorováním, že - pro větší - částečný součet docela často se chová přibližně jako[2]
s aby posloupnost konvergovala přechodně k výsledku série pro Tak pro a příslušné dílčí částky jsou:
Tyto tři rovnice obsahují tři neznámé: a Řešení pro dává[2]
Ve (výjimečném) případě, že se jmenovatel rovná nule: pak pro všechny
Zobecněná Shanksova transformace
Zobecněný kShanksova transformace třetího řádu je dána jako poměr determinanty:[4]
s Jedná se o řešení modelu pro konvergenční chování dílčích součtů s odlišné přechodné jevy:
Tento model konvergenčního chování obsahuje neznámé. Vyhodnocením výše uvedené rovnice na prvcích a řešení pro výše uvedený výraz pro kJe získána Shanksova transformace řádu. Generalizovaná Shanksova transformace prvního řádu se rovná běžné Shanksově transformaci:
Shanks, D. (1955), „Nelineární transformace divergentních a pomalu konvergentních sekvencí“, Journal of Mathematics and Physics, 34: 1–42, doi:10,1002 / sapm19553411
Schmidt, R. (1941), „O numerickém řešení lineárních simultánních rovnic iterační metodou“, Filozofický časopis, 32: 369–383