Funkční renormalizační skupina - Functional renormalization group - Wikipedia

v teoretická fyzika, funkční renormalizační skupina (SRN) je implementací renormalizační skupina (RG) koncept, který se používá v kvantové a statistické teorii pole, zejména při řešení silně interagujících systémů. Metoda kombinuje funkční metody kvantová teorie pole s myšlenkou skupiny intuitivní renormalizace skupiny Kenneth G. Wilson. Tato technika umožňuje hladce interpolovat mezi známými mikroskopickými zákony a komplikovanými makroskopickými jevy ve fyzikálních systémech. V tomto smyslu přemosťuje přechod od jednoduchosti mikrofyziky ke složitosti makrofyziky. Obrazně řečeno, FRG funguje jako mikroskop s proměnným rozlišením. Jeden začíná obrazem známých mikrofyzikálních zákonů s vysokým rozlišením a následně snižuje rozlišení, aby se získal hrubozrnný obraz makroskopických kolektivních jevů. Metoda je neperturativní, což znamená, že se nespoléhá na expanzi v malém vazební konstanta. Matematicky je FRG založeno na přesné funkční diferenciální rovnici pro měřítko závislé efektivní akce.

Toková rovnice pro efektivní akci

v kvantová teorie pole, efektivní akce ${ displaystyle Gamma}$ je obdobou klasický akce funkční ${ displaystyle S}$ a záleží na polích dané teorie. Zahrnuje všechny kvantové a tepelné fluktuace. Varianta ${ displaystyle Gamma}$ získá přesné rovnice kvantového pole, například pro kosmologie nebo elektrodynamika supravodičů. Matematicky, ${ displaystyle Gamma}$ je generující funkce neredukovatelné jedné částice Feynmanovy diagramy. Zajímavá fyzika, jako propagátoři a efektivní vazby pro interakce, z ní lze přímo extrahovat. V obecné teorii interakčního pole je efektivní akce ${ displaystyle Gamma}$je však obtížné získat. FRG poskytuje praktický nástroj pro výpočet ${ displaystyle Gamma}$ zaměstnává renormalizační skupina pojem.

Centrální objekt v SRN je funkční efektivní akce závislá na měřítku ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ často se nazývá průměrná akce nebo plynulá akce. Závislost na posuvné stupnici RG ${ displaystyle k}$ se zavádí přidáním a regulátor (infračervené omezení) ${ displaystyle R_ {k}}$ na plný inverzní propagátor ${ displaystyle Gamma _ {k} ^ {(2)}}$. Zhruba řečeno, regulátor ${ displaystyle R_ {k}}$ odděluje pomalé režimy od momentu ${ displaystyle q lesssim k}$ tím, že jim dáte velkou hmotu, zatímco režimy s vysokou hybností nejsou ovlivněny. Tím pádem, ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ zahrnuje všechny kvantové a statistické fluktuace s hybností ${ displaystyle q gtrsim k}$. Plynulá akce ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ řídí se přesnou rovnicí funkčního toku

${ displaystyle k , částečné _ {k} gama _ {k} = { frac {1} {2}} { text {STr}} , k , částečné _ {k} R_ {k } , ( Gamma _ {k} ^ {(1,1)} + R_ {k}) ^ {- 1},}$

odvozeno od Christof Wetterich a Tim R. Morris v roce 1993. Tady ${ displaystyle částečné _ {k}}$ označuje derivát s ohledem na stupnici RG ${ displaystyle k}$ při pevných hodnotách polí. Dále ${ displaystyle Gamma _ {k} ^ {(1,1)}}$ označuje funkční derivaci ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ z levé strany a z pravé strany v důsledku tenzorové struktury rovnice. Tato vlastnost je často znázorněna zjednodušenou druhou derivací efektivní akce. Funkční diferenciální rovnice pro ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ musí být doplněna počáteční podmínkou ${ displaystyle Gamma _ {k to Lambda} = S}$kde „klasická akce“ ${ displaystyle S}$ popisuje fyziku v mikroskopickém ultrafialovém měřítku ${ displaystyle k = Lambda}$. Důležité je, že v infračervený limit ${ displaystyle k až 0}$ plný efektivní akce ${ displaystyle Gamma = Gamma _ {k až 0}}$ je získáno. V Wetterichova rovnice ${ displaystyle { text {STr}}}$ označuje supertrakci, která sumarizuje hybnost, frekvence, vnitřní indexy a pole (bosony s plusem a fermiony se znaménkem mínus). Přesná rovnice toku pro ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ má strukturu jedné smyčky. Jedná se o důležité zjednodušení ve srovnání s teorie poruch, kde musí být zahrnuty více smyčkové diagramy. Druhá funkční derivace ${ displaystyle Gamma _ {k} ^ {(2)} = Gamma _ {k} ^ {(1,1)}}$ je plný propagátor inverzního pole upravený přítomností regulátoru ${ displaystyle R_ {k}}$.

Vývoj skupiny normalizace skupiny ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ lze ilustrovat v teoretickém prostoru, což je vícerozměrný prostor všech možných běžících spojek ${ displaystyle {c_ {n} }}$ dovoleno symetriemi problému. Jak je schematicky znázorněno na obrázku, v mikroskopickém ultrafialovém měřítku ${ displaystyle k = Lambda}$ jeden začíná počáteční podmínkou ${ displaystyle Gamma _ {k = Lambda} = S}$.

Tok renormalizační skupiny v teoretickém prostoru všech možných vazeb povolených symetrií.

Jako posuvná stupnice ${ displaystyle k}$ je spuštěna, plynulá akce ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ se vyvíjí v teoretickém prostoru podle rovnice funkčního toku. Volba regulátoru ${ displaystyle R_ {k}}$ není jedinečný, což do systému zavádí určitou závislost schématu renormalizační skupina tok. Z tohoto důvodu různé možnosti regulátora ${ displaystyle R_ {k}}$ odpovídají různým cestám na obrázku. V infračerveném měřítku ${ displaystyle k = 0}$, nicméně, plně efektivní akce ${ displaystyle Gamma _ {k = 0} = Gamma}$ se obnoví při každé volbě mezní hodnoty ${ displaystyle R_ {k}}$a všechny trajektorie se setkávají ve stejném bodě teoretického prostoru.

Ve většině případů lze Wetterichovu rovnici vyřešit pouze přibližně. Obvykle nějaký typ rozšíření ${ displaystyle Gamma _ {k}}$ je provedeno, které je pak zkráceno v konečném pořadí, což vede k konečnému systému obyčejných diferenciálních rovnic. Byly vyvinuty různé systematické expanzní schémata (jako je derivační expanze, expanze vrcholů atd.). Volba vhodného schématu by měla být fyzicky motivovaná a závisí na daném problému. Expanze nemusí nutně zahrnovat malý parametr (jako interakce vazební konstanta ), a jsou tedy obecně neporuchové povahy.

Aspekty funkční renormalizace

• Wetterichova rovnice toku je přesná rovnice. V praxi však musí být funkční diferenciální rovnice zkrácena, tj. Musí být promítnuta na funkce několika proměnných nebo dokonce na nějaký konečně-dimenzionální subteoretický prostor. Stejně jako v každé neperturativní metodě je otázka odhadu chyby ve funkční renormalizaci netriviální. Jedním ze způsobů, jak odhadnout chybu v SRN, je zlepšit zkrácení v po sobě jdoucích krocích, tj. Zvětšit prostor sub-teorie zahrnutím stále více běžících spojek. Rozdíl v tokech pro různé zkrácení poskytuje dobrý odhad chyby. Alternativně lze použít různé funkce regulátoru ${ displaystyle R_ {k}}$ v daném (pevném) zkrácení a určete rozdíl toků RG v infračervené oblasti pro příslušné volby regulátoru. Pokud se použije bosonizace, lze zkontrolovat necitlivost konečných výsledků s ohledem na různé bosonizační postupy.
• Ve FRG, stejně jako ve všech metodách RG, lze získat mnoho informací o fyzickém systému z topologie toků RG. Konkrétně identifikace pevné body evoluce skupiny renormalizace má velký význam. V blízkosti pevných bodů se tok běžících spojek účinně zastaví a RG ${ displaystyle beta}$-funkce se blíží nule. Přítomnost (částečně) stabilních infračervených pevných bodů úzce souvisí s konceptem univerzálnost. Univerzalita se projevuje pozorováním, že některé velmi odlišné fyzické systémy mají stejné kritické chování. Například pro dobrou přesnost, kritické exponenty fázového přechodu kapalina-plyn ve vodě a feromagnetického fázového přechodu v magnetech jsou stejné. V jazyce skupiny pro renormalizaci proudí různé systémy ze stejné třídy univerzality do stejného (částečně) stabilního infračerveného pevného bodu. Tímto způsobem se makrofyzika stává nezávislou na mikroskopických detailech konkrétního fyzického modelu.
• Ve srovnání s teorie poruch, funkční renormalizace nedělá striktní rozdíl mezi renormalizovatelnými a nerenormalizovatelnými spojkami. Všechna běžící propojení, která jsou povolena symetriemi problému, jsou generována během toku FRG. Nerenormalizovatelné spojky se však během evoluce směrem k infračervenému záření velmi rychle přibližují k dílčím pevným bodům, a tak se tok efektivně zhroutí na hyperplochu dimenze dané počtem renormalizovatelných spojek. Zohlednění nerenormalizovatelných spojek umožňuje studovat neuniverzální funkce, které jsou citlivé na konkrétní volbu mikroskopického působení ${ displaystyle S}$ a konečný ultrafialový limit ${ displaystyle Lambda}$.
• Wetterichovu rovnici lze získat z Legendární transformace Polchinskiho funkční rovnice, kterou odvodil Joseph Polchinski v roce 1984. Koncept efektivní průměrné akce, používaný v SRN, je však intuitivnější než plynoucí holá akce v Polchinski rovnici. Navíc se metoda FRG ukázala jako vhodnější pro praktické výpočty.
• Nízkoenergetická fyzika silně interagujících systémů je typicky popsána makroskopickými stupni volnosti (tj. Excitací částic), které se velmi liší od mikroskopických vysokoenergetických stupňů volnosti. Například, kvantová chromodynamika je teorie pole interagujících kvarků a gluonů. Při nízkých energiích jsou však správnými stupni volnosti baryony a mezony. Dalším příkladem je problém přechodu BEC / BCS v systému Windows fyzika kondenzovaných látek. Zatímco mikroskopická teorie je definována jako dvousložkové nerelativistické fermiony, při nízkých energiích se z kompozitního dimenze (částice-částice) stává další stupeň volnosti a je vhodné jej do modelu výslovně zahrnout. Nízkoenergetické složené stupně volnosti lze v popisu zavést metodou částečné bosonizace (Hubbard-Stratonovichova transformace ). Tato transformace se však provádí jednou provždy v UV měřítku ${ displaystyle Lambda}$. Ve SRN byl zaveden efektivnější způsob začlenění makroskopických stupňů volnosti, který je známý jako plynulá bosonizace nebo rebosonizace. Pomocí transformace pole závislé na měřítku to umožňuje provést Hubbard-Stratonovichova transformace nepřetržitě na všech stupnicích RG ${ displaystyle k}$.

Funkční renormalizační skupina pro efektivní interakci podle Wicka

Na rozdíl od rovnice toku pro efektivní akci je toto schéma formulováno pro efektivní interakce

${ displaystyle { mathcal {V}} [ eta, eta ^ {+}] = - ln Z [G_ {0} ^ {- 1} eta, G_ {0} ^ {- 1} eta ^ {+}] - eta G_ {0} ^ {- 1} eta ^ {+}}$

který generuje vrcholy interakce n-částice amputované holými propagátory ${ displaystyle G_ {0}}$;${ displaystyle Z [ eta, eta ^ {+}]}$ je „standard“ generující funkci pro zelené funkce n-částice.

Wickovo uspořádání efektivní interakce s ohledem na zelenou funkci ${ displaystyle D}$ lze definovat pomocí

${ displaystyle { mathcal {W}} [ eta, eta ^ {+}] = exp (- Delta _ {D}) { mathcal {V}} [ eta, eta ^ {+} ]}$.

kde ${ displaystyle Delta = D delta ^ {2} / ( delta eta delta eta ^ {+})}$ je Laplacian v poli. Tato operace je podobná Normální pořadí a vylučuje z interakce všechny možné termíny, vytvořené konvolucí zdrojových polí s příslušnou zelenou funkcí D. Představujeme určité mezní hodnoty ${ displaystyle Lambda}$ Polchinskii rovnice

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné Lambda}} {{V} _ { Lambda}} ( psi) = - {{ dot { Delta}} _ {G_ {0, Lambda }}} {{V} _ { Lambda}} ( psi) + Delta _ {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} ^ {12} { mathcal {V}} _ { Lambda} ^ {(1)} { mathcal {V}} _ { Lambda} ^ {(2)}}$

má podobu Wickovy rovnice

${ displaystyle { částečné _ { Lambda}} {{ mathcal {W}} _ { Lambda}} = - { Delta _ {{{ dot {D}} _ { Lambda}} + {{ dot {G}} _ {0, Lambda}}}} {{ mathcal {W}} _ { Lambda}} + {e ^ {- Delta _ {D _ { Lambda}} ^ {12} }} Delta _ {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} ^ {12} { mathcal {W}} _ { Lambda} ^ {(1)} { mathcal {W}} _ { Lambda} ^ {(2)}}$

kde

${ displaystyle Delta _ {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} ^ {12} { mathcal {V}} _ { Lambda} ^ {(1)} { mathcal {V} } _ { Lambda} ^ {(2)} = { frac {1} {2}} left ({{ frac { delta {{V} _ { Lambda}} ( psi)} { delta psi}}, {{ dot {G}} _ {0, Lambda}} { frac { delta {{V} _ { Lambda}} ( psi)} { delta psi}} }že jo)}$

Aplikace

Metoda byla aplikována na řadu problémů ve fyzice, např .:

• v statistická teorie pole, FRG poskytla jednotný obraz o fázové přechody v klasickém lineárním ${ displaystyle O (N)}$-symetrické skalární teorie v různých dimenzích ${ displaystyle d}$, včetně kritických exponentů pro ${ displaystyle d = 3}$ a fázový přechod Berezinskii-Kosterlitz-Thouless pro ${ displaystyle d = 2}$, ${ displaystyle N = 2}$.
• V teorii kvantového pole měřidla byl FRG použit například pro zkoumání chirálního fázového přechodu a infračervených vlastností QCD a jeho rozšíření s velkou příchutí.
• v fyzika kondenzovaných látek se metoda osvědčila při léčbě mřížových modelů (např Hubbardův model nebo frustrované magnetické systémy), odpudivý plyn Bose, přechod BEC / BCS pro dvousložkový plyn Fermi, Kondo efekt, neuspořádané systémy a nerovnovážné jevy.
• Použití SRN na gravitaci poskytlo argumenty ve prospěch nerušivé renormalizovatelnosti kvantová gravitace ve čtyřech časoprostorových dimenzích, známých jako asymptotická bezpečnost scénář.
• V matematické fyzice bylo k prokázání renormalizovatelnosti různých teorií pole použito SRN.

Viz také

• Renormalizační skupina
• Renormalizace
• Kritické jevy
• Měřítko invariance
• Asymptotická bezpečnost v kvantové gravitaci

Reference

Doklady

• Wetterich, C. (1993), "Rovnice přesného vývoje účinného potenciálu", Phys. Lett. B, 301 (1): 90, arXiv:1710.05815, Bibcode:1993PhLB..301 ... 90W, doi:10.1016 / 0370-2693 (93) 90726-X, S2CID  119536989
• Morris, T. R. (1994), „Přesná renormalizační skupina a přibližná řešení“, Int. J. Mod. Phys. A, A (14): 2411–2449, arXiv:hep-ph / 9308265, Bibcode:1994 IJMPA ... 9,2411 mil, doi:10.1142 / S0217751X94000972, S2CID  15749927
• Polchinski, J. (1984), "Renormalizace a efektivní lagrangians", Nucl. Phys. B, 231 (2): 269, Bibcode:1984NuPhB.231..269P, doi:10.1016/0550-3213(84)90287-6

• Reuter, M. (1998), „Neporušovací evoluční rovnice pro kvantovou gravitaci“, Phys. Rev. D, 57 (2): 971–985, arXiv:hep-th / 9605030, Bibcode:1998PhRvD..57..971R, CiteSeerX  10.1.1.263.3439, doi:10.1103 / PhysRevD.57.971, S2CID  119454616

Pedagogické recenze

• J. Berges; N. Tetradis; C. Wetterich (2002), „Neporuchový renormalizační tok v teorii kvantového pole a statistické mechanice“, Phys. Rep., 363 (4–6): 223–386, arXiv:hep-ph / 0005122, Bibcode:2002PhR ... 363..223B, doi:10.1016 / S0370-1573 (01) 00098-9, S2CID  119033356

• J. Polonyi, Janos (2003), „Přednášky o metodě funkční renormalizační skupiny“, Cent. Eur. J. Phys., 1 (1): 1–71, arXiv:hep-th / 0110026, Bibcode:2003CEJPh ... 1 .... 1P, doi:10,2478 / BF02475552, S2CID  53407529

• H.Gies (2006). "Úvod do funkčního RG a aplikace pro měření teorií". Skupiny renormalizace a přístupy efektivní teorie pole k systémům mnoha těl. Přednášky z fyziky. 852. 287–348. arXiv:hep-ph / 0611146. doi:10.1007/978-3-642-27320-9_6. ISBN  978-3-642-27319-3. S2CID  15127186.

• B. Delamotte (2007). "Úvod do skupiny bez porúch renormalizace". Skupiny renormalizace a přístupy efektivní teorie pole k systémům mnoha těl. Přednášky z fyziky. 852. str. 49–132. arXiv:cond-mat / 0702365. doi:10.1007/978-3-642-27320-9_2. ISBN  978-3-642-27319-3. S2CID  34308305.

• M. Salmhofer a C. Honerkamp, ​​Manfred; Honerkamp, ​​Carsten (2001), „Fermionic renormalization group flow: Technique and theory“, Prog. Teor. Phys., 105 (1): 1, Bibcode:2001PThPh.105 .... 1S, doi:10.1143 / PTP.105.1

• M. Reuter a F. Saueressig; Frank Saueressig (2007). "Funkční renormalizační skupinové rovnice, asymptotická bezpečnost a kvantová Einsteinova gravitace". arXiv:0708.1317 [hep-th ].