Skupina Schrödinger - Schrödinger group

The Skupina Schrödinger je skupina symetrie volné částice Schrödingerova rovnice. Matematicky skupina SL (2, R) působí na Skupina Heisenberg vnějšími automatizmy a skupina Schrödinger je odpovídajícím polopřímým produktem.

Schrödingerova algebra

Schrödingerova algebra je Lež algebra skupiny Schrödinger. Není částečně jednoduché. V jedné prostorové dimenzi ji lze získat jako polo přímý součet Lieovy algebry sl (2, R) a Heisenbergova algebra; podobné konstrukce platí i pro vyšší prostorové rozměry.

Obsahuje a Galilei algebra s centrálním prodloužením.

${ displaystyle [J_ {a}, J_ {b}] = i epsilon _ {abc} J_ {c}, , !}$

${ displaystyle [J_ {a}, P_ {b}] = i epsilon _ {abc} P_ {c}, , !}$

${ displaystyle [J_ {a}, K_ {b}] = i epsilon _ {abc} K_ {c}, , !}$

${ displaystyle [P_ {a}, P_ {b}] = 0, [K_ {a}, K_ {b}] = 0, [K_ {a}, P_ {b}] = i delta _ {ab} M, , !}$

${ displaystyle [H, J_ {a}] = 0, [H, P_ {a}] = 0, [H, K_ {a}] = iP_ {a}. , !}$

Kde ${ displaystyle J_ {a}, P_ {a}, K_ {a}, H}$ jsou generátory rotací (operátor momentu hybnosti ), prostorové překlady (operátor hybnosti ), Galilean zvyšuje a překlad času (Hamiltonian ) odpovídajícím způsobem (poznámky: ${ displaystyle i}$ je imaginární jednotka, ${ displaystyle i ^ {2} = - 1}$. Specifická forma komutátorů generátorů rotace ${ displaystyle J_ {a}}$ je tedy prostorem trojrozměrného prostoru ${ displaystyle a, b, c = 1, ldots, 3}$.). The centrální prodloužení M má výklad jako nerelativistický Hmotnost a odpovídá symetrii Schrödingerova rovnice ve fázové transformaci (a zachování pravděpodobnosti).

Existují další dva generátory, které označíme D a C. Mají následující komutační vztahy:

${ displaystyle [H, C] = iD, [C, D] = - 2iC, [H, D] = 2iH, , !}$

${ displaystyle [P_ {a}, D] = iP_ {a}, [K_ {i}, D] = - iK_ {a}, , !}$

${ displaystyle [P_ {a}, C] = - iK_ {a}, [K_ {a}, C] = 0, , !}$

${ displaystyle [J_ {a}, C] = [J_ {a}, D] = 0. , !}$

Generátory H, C a D tvoří algebru sl (2, R).

Systematičtější notace umožňuje vrhat tyto generátory do čtyř (nekonečných) rodin ${ displaystyle X_ {n}, Y_ {m} ^ {(j)}, M_ {n}}$ a ${ displaystyle R_ {n} ^ {(jk)} = - R_ {n} ^ {(kj)}}$, kde n ∈ ℤ je celé číslo a m ∈ ℤ + 1/2 je napůl celé číslo a j, k = 1, ..., d označte prostorový směr v d prostorové rozměry. Nezanikající komutátory Schrödingerovy algebry se stávají (euklidovskou formou)

${ displaystyle [X_ {n}, X_ {n '}] = (n-n') X_ {n + n '}}$

${ displaystyle [X_ {n}, Y_ {m} ^ {(j)}] = left ({n over 2} -m right) Y_ {n + m} ^ {(j)}}$

${ displaystyle [X_ {n}, M_ {n '}] = - n'M_ {n + n'}}$

${ displaystyle [X_ {n}, R_ {n '} ^ {(jk)}] = - n'R_ {n'} ^ {(jk)}}$

${ displaystyle [Y_ {m} ^ {(j)}, Y_ {m '} ^ {(k)}] = delta _ {j, k} (m-m') M_ {m + m '}}$

${ displaystyle [R_ {n} ^ {(ij)}, Y_ {m} ^ {(k)}] = delta _ {i, k} Y_ {n + m} ^ {(j)} - delta _ {j, k} Y_ {n + m} ^ {(i)}}$

${ displaystyle [R_ {n} ^ {(ij)}, R_ {n '} ^ {(kl)}] = delta _ {i, k} R_ {n + n'} ^ {(jl)} + delta _ {j, l} R_ {n + n '} ^ {(ik)} - delta _ {i, l} R_ {n + n'} ^ {(jk)} - delta _ {j, k} R_ {n + n '} ^ {(il)}}$

The Schrödingerova algebra je konečně-dimenzionální a obsahuje generátory ${ displaystyle X _ {- 1,0,1}, Y _ {- 1 / 2,1 / 2} ^ {(j)}, M_ {0}, R_ {0} ^ {(jk)}}$Zejména tři generátory ${ displaystyle X _ {- 1} = H, X_ {0} = D, X_ {1} = C}$ rozpětí sub-algebry sl (2, R). Překlady prostoru generuje${ displaystyle Y _ {- 1/2} ^ {(j)}}$ a Galileiho transformace ${ displaystyle Y_ {1/2} ^ {(j)}}$.

Ve zvolené notaci lze jasně vidět, že existuje nekonečně rozměrné rozšíření, které se nazývá Schrödinger – Virasoro algebraPak generátory ${ displaystyle X_ {n}}$ s n integer span a loop-Virasoro algebra. Explicitní vyjádření jako transformace časoprostoru je dáno pomocí, s n ∈ ℤ a m ∈ ℤ + 1/2^[1]

${ displaystyle X_ {n} = - t ^ {n + 1} částečné _ {t} - {n + 1 přes 2} t ^ {n} { vec {r}} cdot částečné _ { vec {r}} - {n (n + 1) nad 4} { cal {M}} t ^ {n-1} { vec {r}} cdot { vec {r}} - {x nad 2} (n + 1) t ^ {n}}$

${ displaystyle Y_ {m} ^ {(j)} = - t ^ {m + 1/2} částečný _ {r_ {j}} - levý (m + {1 nad 2} pravý) { cal {M}} t ^ {m-1/2} r_ {j}}$

${ displaystyle M_ {n} = - t ^ {n} { cal {M}}}$

${ displaystyle R_ {n} ^ {(jk)} = - t ^ {n} vlevo (r_ {j} částečné _ {r_ {k}} - r_ {k} částečné _ {r_ {j}} že jo)}$

To ukazuje, jak centrální rozšíření ${ displaystyle M_ {0}}$ non-semi-jednoduché a konečně-dimenzionální Schrödingerovy algebry se stává součástí nekonečné rodiny v Schrödinger-Virasoro algebře. Kromě toho a analogicky s buď Virasoro algebra nebo Kac – Moodyho algebra, jsou možná další centrální rozšíření. Výsledek, který nezmizí, však existuje pouze pro komutátor${ displaystyle [X_ {n}, X_ {n '}]}$, kde to musí být známé formy Virasoro, jmenovitě

${ displaystyle [X_ {n}, X_ {n '}] = (n-n') X_ {n + n '} + {c nad 12} (n ^ {3} -n) delta _ {n + n ', 0}}$

nebo pro komutátor mezi rotacemi ${ displaystyle R_ {n} ^ {(jk)}}$, kde musí mít Kac-Moodyho podobu. Jakékoli další možné centrální rozšíření lze absorbovat do generátorů algebry Lie.

Role Schrödingerovy skupiny v matematické fyzice

Ačkoli Schrödingerova skupina je definována jako skupina symetrie volné částice Schrödingerova rovnice, je realizován v některých interagujících nerelativistických systémech (například studené atomy při kritičnosti).

Schrödingerovu skupinu v d prostorových dimenzích lze zakotvit do relativistických konformní skupina v dimenzích d + 1 SO (2, d + 2). Toto vložení souvisí se skutečností, že lze získat Schrödingerova rovnice od bezhmotných Klein-Gordonova rovnice přes Zhutnění Kaluza – Klein podél nulových rozměrů a Bargmannova zdvih Newton – Cartanova teorie. Toto vložení lze také chápat jako rozšíření Schrödingerovy algebry na maximum parabolická subalgebra SO (2, d + 2).

Symetrie Schrödingerovy skupiny může vést k exotickým vlastnostem interagujících bosonických a fermionových systémů, jako je supertekutiny v bosonech^[2][3],a Fermiho kapaliny a kapaliny jiné než Fermi ve fermionech^[4]. Mají aplikace v kondenzovaných látkách a chladných atomech.

Schrödingerova skupina také vzniká jako dynamická symetrie v aplikacích s kondenzovanou hmotou: je to dynamická symetrieEdwards – Wilkinsonův model růstu kinetického rozhraní.^[5] Popisuje také kinetiku fázového uspořádání v magnetických systémech po teplotním ochlazení z neuspořádané do uspořádané fáze.

Reference

• C. R. Hagen, „Měřítko a konformní transformace v teorii pole Galilean-Covariant“, Phys. Rev. D5, 377–388 (1972)
• U. Niederer, „Skupina maximální kinematické invariance volné Schroedingerovy rovnice“, Helv. Phys. Acta 45, 802 (1972)
• G. Burdet, M. Perrin, P. Sorba, „O nerelativistické struktuře konformní algebry“, Comm. Matematika. Phys. 34, 85 (1973)
• M. Henkel, „Schrödingerova invariance a silně anizotropní kritické systémy“, J. Stat. Phys. 75, 1023 (1994)
• M. Henkel, J. Unterberger, „Schrödingerova invariance a časoprostorové symetrie“, Nucl. Phys. B660, 407 (2003)
• A. Röthlein, F. Baumann, M. Pleimling, „Symetrické stanovení časoprostorových funkcí v nerovnovážných růstových procesech“, Phys. Rev. E74, 061604 (2006) - erratum E76, 019901 (2007)
• D.T. Son, „Směrem k korespondenci AdS / studené atomy: Geometrická realizace Schrödingerovy symetrie“, Phys. Rev. D78, 046003 (2008)
• A. Bagchi, R. Gopakumar, „Galilean Conformal Algebras and AdS / CFT“, JHEP 0907:037 (2009)
• M. Henkel, M. Pleimling, Nerovnovážné fázové přechody, díl 2: stárnutí a dynamické škálování daleko od rovnováhy(Springer, Heidelberg 2010)
• J. Unterberger, C. Roger, Schrödinger-Virasoro algebra(Springer, Heidelberg 2012)

Viz také

• Schrödingerova rovnice
• Galileova transformace
• Poincaré skupina