Schrödersova rovnice - Schröders equation - Wikipedia

Ernst Schröder (1841–1902) v roce 1870 formuloval rovnici svého jmenovce.
Nesmí být zaměňována s Schrödingerova rovnice.

Schröderova rovnice,[1][2][3] pojmenoval podle Ernst Schröder, je funkční rovnice s jedním nezávislé proměnné: vzhledem k funkci h, najděte funkci Ψ takhle

Schröderova rovnice je vlastní rovnice pro operátor složení Ch, který odesílá funkci F na F(h(.)).

Li A je pevný bod z h, význam h(A) = A, pak buď Ψ (A) = 0 (nebo ∞) nebo s = 1. Tedy za předpokladu, že Ψ (A) je konečný a Ψ ′ (A) nezmizí ani se nerozchází, vlastní číslo s darováno s = h′(A).

Funkční význam

Pro A = 0, pokud h je analytický na disku jednotky, opravy 0, a 0 < |h′(0)| < 1, pak Gabriel Koenigs v roce 1884 ukázal, že existuje analytický (netriviální) Ψ uspokojení Schröderovy rovnice. Toto je jeden z prvních kroků v dlouhé řadě vět plodných pro pochopení operátorů kompozice v analytických funkčních prostorech, srov. Koenigsova funkce.

Rovnice jako Schröderovy jsou vhodné pro kódování sebepodobnost, a proto byly značně využívány ve studiích nelineární dynamika (často se hovorově označuje jako teorie chaosu ). Používá se také ve studiích turbulence, stejně jako renormalizační skupina.[4][5]

Ekvivalentní transponovaná forma Schröderovy rovnice pro inverzi Φ = Ψ−1 Schröderovy funkce konjugace je h(Φ (y)) = Φ (sy). Změna proměnných α (X) = log (Ψ (X)) / log (s) (dále jen Funkce Abel ) dále převádí Schröderovu rovnici na starší Abelova rovnice, α (h(X)) = α (X) + 1. Podobně i změna proměnných Ψ (X) = log (φ (X)) převádí Schröderovu rovnici na Böttcherova rovnice, φ (h(X)) = (φ (X))s.

Navíc pro rychlost[5] β (X) = Ψ / Ψ ′,   Julie rovnice,   β (F(X)) = F′(X) β (X), drží.

The n-tá síla řešení Schröderovy rovnice poskytuje řešení Schröderovy rovnice s vlastním číslem sn, namísto. Ve stejném duchu, pro invertibilní řešení Ψ (X) Schröderovy rovnice, (neinvertibilní) funkce Ψ (X) k(log Ψ (X)) je také řešením pro žádný periodická funkce k(X) s tečkou log (s). Všechna řešení Schröderovy rovnice souvisí tímto způsobem.

Řešení

Schröderova rovnice byla řešena analyticky, pokud A je přitahující (ale ne superatraktivní) pevný bod, to znamená 0 < |h′(A)| < 1 podle Gabriel Koenigs (1884).[6][7]

V případě superatraktivního pevného bodu |h′(A)| = 0, Schröderova rovnice je nepraktická a měla by být nejlépe transformována na Böttcherova rovnice.[8]

Existuje celá řada konkrétních řešení sahajících až k původnímu Schröderovu původnímu dokumentu z roku 1870.[1]

Sériové rozšíření kolem pevného bodu a příslušné konvergenční vlastnosti řešení pro výslednou oběžnou dráhu a jeho analytické vlastnosti jsou kogentně shrnuty pomocí Szekeres.[9] Některá řešení jsou vybavena z hlediska asymptotická série srov. Carlemanova matice.

Aplikace

Prvních pět poločasů oběžné dráhy fázového prostoru s = 4 chaotická logistická mapa h(X), interpoloval holograficky Schröderovou rovnicí. Rychlost proti = dht/ dt spiknutí proti ht. Chaos je evidentní na oběžné dráze, která zametá všechny Xs po celou dobu.
Viz také: Racionální diferenční rovnice

Používá se k analýze diskrétních dynamických systémů hledáním nového souřadnicového systému, ve kterém systém (oběžnou dráhu) generuje h(X) vypadá jednodušeji, pouhá dilatace.

Přesněji řečeno, systém, pro který je diskrétní jednotkový časový krok X → h(X), může mít své hladké obíhat (nebo tok ) rekonstruovaný z řešení výše uvedené Schröderovy rovnice, její konjugační rovnice.

To znamená h(X) = Ψ−1(s Ψ (X)) ≡ h1(X).

Obecně, všechny jeho funkční iterace (své pravidelná iterace skupina viz iterovaná funkce ) jsou poskytovány obíhat

pro t skutečný - ne nutně kladný nebo celočíselný. (Tedy plné spojitá skupina.) Sada hn(X), tj. všech kladných celočíselných iterací h(X) (poloskupina ) se nazývá tříska (nebo Picardova sekvence) z h(X).

Nicméně, všechny iterace (zlomkové, nekonečně malé nebo záporné) z h(X) jsou také specifikovány transformací souřadnic Ψ(X) určeno k řešení Schröderovy rovnice: holografická spojitá interpolace počáteční diskrétní rekurze X → h(X) byl postaven;[10] ve skutečnosti celý obíhat.

Například funkční odmocnina je h½(X) = Ψ−1(s1/2 Ψ (X)), aby h1/2(h1/2(X)) = h(X), a tak dále.

Například,[11] zvláštní případy logistická mapa jako je chaotický případ h(X) = 4X(1 − X) byly již rozpracovány Schröderem v jeho původním článku[1] (str. 306),

Ψ (X) = (arcsin.) √X)2, s = 4, a tedy ht(X) = hřích2(2t arcsin √X).

Ve skutečnosti je toto řešení považováno za výsledek, který je výsledkem pohybu diktovaného posloupností potenciálů přepnutí,[12] PROTI(X) ∝ X(X − 1) (nπ + arcsin√X)2, obecný rys spojitých iterací ovlivněných Schröderovou rovnicí.

Nonchaotic případ také ilustroval svou metodou, h(X) = 2X(1 − X), výnosy

Ψ (X) = −½ln (1 - 2X), a tedy ht(X) = −½((1 − 2X)2t − 1).

Stejně tak pro Beverton – Holtův model, h(X) = X/(2 − X), jeden snadno najde[10] Ψ (X) = X/(1 − X), aby[13]

Viz také

Reference

  1. ^ A b C Schröder, Ernst (1870). "Ueber iterirte Functionen". Matematika. Ann. 3 (2): 296–322. doi:10.1007 / BF01443992.
  2. ^ Carleson, Lennart; Gamelin, Theodore W. (1993). Složitá dynamika. Série učebnic: Universitext: Tracts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-97942-5.
  3. ^ Kuczma, Marek (1968). Funkční rovnice v jedné proměnné. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN - polští vědečtí vydavatelé. ASIN: B0006BTAC2
  4. ^ Gell-Mann, M.; Nízká, F.E. (1954). „Kvantová elektrodynamika na malé vzdálenosti“ (PDF). Fyzický přehled. 95 (5): 1300–1312. Bibcode:1954PhRv ... 95.1300G. doi:10.1103 / PhysRev.95.1300.
  5. ^ A b Curtright, T.L.; Zachos, C.K. (Březen 2011). "Renormalizace skupinových funkčních rovnic". Fyzický přehled D. 83 (6): 065019. arXiv:1010.5174. Bibcode:2011PhRvD..83f5019C. doi:10.1103 / PhysRevD.83.065019.
  6. ^ Koenigs, G. (1884). „Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionelles“ (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1 (3, příloha): 3–41. doi:10,24033 / asens.247.
  7. ^ Erdős, P.; Jabotinsky, E. (1960). „Na analytické iteraci“. Journal d'Analyse Mathématique. 8 (1): 361–376. doi:10.1007 / BF02786856.
  8. ^ Böttcher, L. E. (1904). "Základní zákony konvergence iterací a jejich aplikace na analýzu". Izv. Kazaň. Fiz.-Mat. Obshch. (Ruština). 14: 155–234.
  9. ^ Szekeres, G. (1958). "Pravidelná iterace skutečných a komplexních funkcí". Acta Mathematica. 100 (3–4): 361–376. doi:10.1007 / BF02559539. [1]
  10. ^ A b Curtright, T.L.; Zachos, C. K. (2009). "Evoluční profily a funkční rovnice". Journal of Physics A. 42 (48): 485208. arXiv:0909.2424. Bibcode:2009JPhA ... 42V5208C. doi:10.1088/1751-8113/42/48/485208.
  11. ^ Curtright, T. L. Evoluční povrchy a Schröderovy funkční metody.
  12. ^ Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2010). "Chaotické mapy, Hamiltonovské toky a holografické metody". Journal of Physics A. 43 (44): 445101. arXiv:1002.0104. Bibcode:2010JPhA ... 43R5101C. doi:10.1088/1751-8113/43/44/445101.
  13. ^ Skellam, J. G. (1951). „Náhodné rozptýlení v teoretických populacích“, Biometrika 38 196-218, ekv. 41, 42.