Böttchersova rovnice - Böttchers equation - Wikipedia

Böttcherova rovnice je funkční rovnice

${ displaystyle F (h (z)) = (F (z)) ^ {n}}$

kde

• h je dané analytická funkce se superatrakcí pevný bod řádu n na A, (tj. ${ displaystyle h (z) = a + c (z-a) ^ {n} + O ((z-a) ^ {n + 1}) ~,}$ v sousedství z A), s n ≥ 2
• F je vyhledávanou funkcí.

The logaritmus této funkční rovnice činí Schröderova rovnice.

název

Rovnice je pojmenována po Lucjan Böttcher.

Řešení

Řešení funkční rovnice je funkce v implicitní forma.

Lucian Emil Böttcher načrtl v roce 1904 důkaz o existenci řešení: analytická funkce F v sousedství pevného bodu Atakové, že:^[1]

${ displaystyle F (a) = 0}$

Toto řešení se někdy nazývá:

• Böttcherova souřadnice
• funkce Böttcher^[2]
• mapa Boettcher.

Celý důkaz zveřejnil Joseph Ritt v roce 1920,^[3] kdo nevěděl o původní formulaci.^[4]

Böttcherova souřadnice (logaritmus Schröderova funkce ) konjugáty Hz) v sousedství pevného bodu k funkci zⁿ. Obzvláště důležitý je případ, kdy Hz) je polynom stupně n, a A = ∞ .^[5]

Příklady

Pro funkci h an = 2^[6]

${ displaystyle h (x) = { frac {x ^ {2}} {1-2x ^ {2}}}}$

Böttcherova funkce F je:

${ displaystyle F (x) = { frac {x} {1 + x ^ {2}}}}$

Aplikace

V části hraje Böttcherovu rovnici zásadní roli holomorfní dynamika který studuje opakování z polynomy jednoho komplexní proměnná.

Globální vlastnosti Böttcherovy souřadnice byly studovány pomocí Fatou^[7][8] a Douady a Hubbard.^[9]

Viz také

• Schröderova rovnice
• Vnější paprsek

Reference