Racionální diferenční rovnice - Rational difference equation - Wikipedia

A racionální diferenční rovnice je nelineární rozdílová rovnice formuláře^[1][2][3][4]

${ displaystyle x_ {n + 1} = { frac { alpha + sum _ {i = 0} ^ {k} beta _ {i} x_ {ni}} {A + sum _ {i = 0} ^ {k} B_ {i} x_ {ni}}} ~,}$

kde původní podmínky ${ displaystyle x_ {0}, x _ {- 1}, tečky, x _ {- k}}$ jsou takové, že jmenovatel pro nikoho nikdy nezmizí n.

Rovnice racionálního rozdílu prvního řádu

A rovnice racionálního rozdílu prvního řádu je nelineární rozdílová rovnice formuláře

${ displaystyle w_ {t + 1} = { frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}.}$

Když ${ displaystyle a, b, c, d}$ a počáteční stav ${ displaystyle w_ {0}}$ jsou reálná čísla, tato rozdílová rovnice se nazývá a Riccatiho rozdílová rovnice.^[3]

Takovou rovnici lze vyřešit psaním ${ displaystyle w_ {t}}$ jako nelineární transformace jiné proměnné ${ displaystyle x_ {t}}$ který se sám vyvíjí lineárně. Pak lze k řešení použít standardní metody lineární diferenční rovnice v ${ displaystyle x_ {t}}$.

Řešení rovnice prvního řádu

První přístup

Jeden přístup ^[5] k vývoji transformované proměnné ${ displaystyle x_ {t}}$, když ${ displaystyle ad-bc neq 0}$, je psát

${ displaystyle y_ {t + 1} = alpha - { frac { beta} {y_ {t}}}}$

kde ${ displaystyle alpha = (a + d) / c}$ a ${ displaystyle beta = (ad-bc) / c ^ {2}}$ a kde ${ displaystyle w_ {t} = y_ {t} -d / c}$.

Další psaní ${ displaystyle y_ {t} = x_ {t + 1} / x_ {t}}$ lze prokázat výnos

${ displaystyle x_ {t + 2} - alpha x_ {t + 1} + beta x_ {t} = 0.}$

Druhý přístup

Tento přístup ^[6] dává diferenciální rovnici prvního řádu pro ${ displaystyle x_ {t}}$ namísto druhého řádu pro případ, ve kterém ${ displaystyle (d-a) ^ {2} + 4 bc}$ není negativní. Psát si ${ displaystyle x_ {t} = 1 / ( eta + w_ {t})}$ naznačující ${ displaystyle w_ {t} = (1- eta x_ {t}) / x_ {t}}$, kde ${ displaystyle eta}$ darováno ${ displaystyle eta = (d-a + r) / 2c}$ a kde ${ displaystyle r = { sqrt {(d-a) ^ {2} + 4bc}}}$. Pak to lze ukázat ${ displaystyle x_ {t}}$ se vyvíjí podle

${ displaystyle x_ {t + 1} = left ({ frac {d- eta c} { eta c + a}} right) x_ {t} + { frac {c} { eta c + A}}.}$

Třetí přístup

Rovnice

${ displaystyle w_ {t + 1} = { frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}}$

lze také vyřešit zpracováním jako zvláštního případu obecnější maticová rovnice

${ displaystyle X_ {t + 1} = - (E + BX_ {t}) (C + AX_ {t}) ^ {- 1},}$

kde všichni A, B, C, E, a X jsou n×n matice (v tomto případě n= 1); řešení tohoto je^[7]

${ displaystyle X_ {t} = N_ {t} D_ {t} ^ {- 1}}$

kde

${ displaystyle { begin {pmatrix} N_ {t} D_ {t} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -B & -E A&C end {pmatrix}} ^ {t} { begin {pmatrix} X_ {0} I end {pmatrix}}.}$

aplikace

Bylo ukázáno v ^[8] že dynamický maticová Riccatiho rovnice formuláře

${ displaystyle H_ {t-1} = K + A'H_ {t} A-A'H_ {t} C (C'H_ {t} C) ^ {- 1} C'H_ {t} A,}$

které mohou u některých vzniknout diskrétní čas optimální ovládání problémy, lze vyřešit pomocí druhého přístupu výše, pokud je matice C má pouze jeden další řádek než sloupec.

Reference

Další čtení

• Simons, Stuart, „Nelineární diferenční rovnice,“ Matematický věstník 93, listopad 2009, 500-504.