Skutečná analytická řada Eisenstein - Real analytic Eisenstein series

v matematika, nejjednodušší skutečná analytická řada Eisenstein je speciální funkce dvou proměnných. Používá se v teorie reprezentace z SL (2,R) a v analytická teorie čísel. Úzce souvisí s funkcí Epstein zeta.

S komplikovanějšími skupinami je spojeno mnoho zobecnění.

Definice

Série Eisenstein E(z, s) pro z = X + iy v horní polorovina je definováno

${ displaystyle E (z, s) = {1 nad 2} součet _ {(m, n) = 1} {y ^ {s} nad | mz + n | ^ {2s}}}$

pro Re (s)> 1, a analytickým pokračováním pro další hodnoty komplexního čísla s. Součet je za všechny páry celých čísel coprime.

Varování: existuje několik dalších mírně odlišných definic. Někteří autoři vynechávají faktor ½ a někteří součet všech párů celých čísel, která nejsou obě nulová; který mění funkci o faktor ζ (2s).

Vlastnosti

Jako funkce na z

Zobrazeno jako funkce z, E(z,s) je skutečný analytik vlastní funkce z Operátor Laplace na H s vlastním číslem s(s-1). Jinými slovy, vyhovuje eliptická parciální diferenciální rovnice

${ displaystyle -y ^ {2} left ({ frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2}} { částečné y ^ {2}}} vpravo) E (z, s) = s (1 s) E (z, s),}$ kde ${ displaystyle z = x + yi.}$

Funkce E(z, s) je neměnný za působení SL (2,Z) zapnuto z v horní polovině roviny o frakční lineární transformace. Spolu s předchozí vlastností to znamená, že řada Eisenstein je Masová forma, skutečný analytický analog klasické eliptiky modulární funkce.

Varování: E(z, s) není čtvercově integrovatelná funkce z s ohledem na neměnnou Riemannovu metriku H.

Jako funkce na s

Série Eisenstein konverguje pro Re (s)> 1, ale může být analyticky pokračovalo na meromorfní funkci s na celé komplexní rovině, s v polorovině Re (s) ${ displaystyle geq}$ 1/2 jedinečný pól zbytku 3 / π at s = 1 (pro všechny z v H) a nekonečně mnoho pólů v pásu 0 s) <1/2 na ${ displaystyle rho / 2}$ kde ${ displaystyle rho}$ odpovídá netriviální nule Riemannovy zeta funkce. Konstantní člen pólu v s = 1 je popsáno v Kroneckerův limitní vzorec.

Upravená funkce

${ displaystyle E ^ {*} (z, s) = pi ^ {- s} gama (s) zeta (2 s) E (z, s) }$

splňuje funkční rovnici

${ displaystyle E ^ {*} (z, s) = E ^ {*} (z, 1 s) }$

analogicky k funkční rovnici pro Funkce Riemann zeta ζ (s).

Skalární součin dvou různých Eisensteinových sérií E(z, s) a E(z, t) je dán Vztahy Maass-Selberg.

Fourierova expanze

Výše uvedené vlastnosti skutečné analytické Eisensteinovy ​​řady, tj. Funkční rovnice pro E (z, s) a E^*(z, s) při použití Laplacian H, jsou ukázány ze skutečnosti, že E (z, s) má Fourierovu expanzi:${ displaystyle E (z, s) = y ^ {s} + { frac {{ hat { zeta}} (2s-1)} {{ hat { zeta}} (2s)}} y ^ {1-s} + { frac {4} {{ hat { zeta}} (2 s)}} sum _ {m = 1} ^ { infty} m ^ {s-1/2} sigma _ {1-2s} (m) { sqrt {y}} K_ {s-1/2} (2 pi my) cos (2 pi mx) ,}$

kde

${ displaystyle { hat { zeta}} (s) = pi ^ {- s / 2} Gamma { biggl (} { frac {s} {2}} { biggr)} zeta (s ) ,}$

${ displaystyle sigma _ {s} (m) = součet _ {d | m} d ^ {s} ,}$

a upraveno Besselovy funkce

${ displaystyle { begin {aligned} K_ {s} (z) & = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} exp { biggl (} - { frac {z} {2}} (u + { frac {1} {u}}) { biggr)} cdot u ^ {s-1} du & sim { sqrt { frac { pi} {2z}}} e ^ {- z} . (Z rightarrow infty) end {zarovnáno}}}$

Funkce Epstein zeta

The Funkce Epstein zeta ζ_Q(s) (Epstein 1903 ) pro pozitivní definitivní integrální kvadratickou formu Q(m, n) = cm² + bmn +an² je definováno

${ displaystyle zeta _ {Q} (s) = součet _ {(m, n) neq (0,0)} {1 nad Q (m, n) ^ {s}}. }$

Je to v podstatě speciální případ skutečné analytické Eisensteinovy ​​řady se zvláštní hodnotou z, od té doby

${ displaystyle Q (m, n) = a | mz-n | ^ {2} }$

pro

${ displaystyle z = - { frac {b} {2a}} + { frac {i { sqrt {-b ^ {2} + 4ac}}} {2a}}.}$

Tato funkce zeta byla pojmenována po Paul Epstein.

Zobecnění

Skutečná analytická série Eisenstein E(z, s) je skutečně Eisensteinova řada spojená s diskrétní podskupinou SL (2,Z) z SL (2,R). Selberg popsané zobecnění na jiné diskrétní podskupiny SL SL (2,R), a použil je ke studiu zastoupení SL (2,R) na L²(SL (2,R) / Γ). Langlands rozšířil Selbergovu práci na skupiny vyšších dimenzí; jeho notoricky obtížné důkazy byly později zjednodušeny Joseph Bernstein.

Viz také

• Eisensteinova řada
• Kroneckerův limitní vzorec
• Masová forma

Reference

• J. Bernstein, Meromorfní pokračování Eisensteinovy ​​série
• Epstein, P. (1903), „Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen I“ (PDF), Matematika. Ann., 56 (4): 614–644, doi:10.1007 / BF01444309.
• A. Krieg (2001) [1994], "Epstein zeta-funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Kubota, T. (1973), Základní teorie Eisensteinovy ​​řady, Tokio: Kodansha, ISBN  0-470-50920-1.
• Langlands, Robert P. (1976), Na funkční rovnice splněné Eisensteinovou řadou, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  0-387-07872-X.
• A. Selberg, Diskontinuální skupiny a harmonická analýza, Proc. Int. Congr. Math., 1962.
• D. Zagier, Eisensteinova řada a Riemannova zeta funkce.