Kroneckerův limitní vzorec - Kronecker limit formula

V matematice klasická Kroneckerův limitní vzorec popisuje konstantní člen v s = 1 z a skutečná analytická série Eisenstein (nebo Funkce Epstein zeta ) ve smyslu Funkce Dedekind eta. Existuje mnoho zevšeobecnění pro složitější Eisensteinovy ​​série. Je pojmenován pro Leopold Kronecker.

První limitní vzorec Kronecker

(První) limitní vzorec Kronecker to říká

${displaystyle E (au, s) = {pi over s-1} + 2pi (gamma -log (2) -log ({sqrt {y}} | eta (au) | ^ {2})) + O (s -1),}$

kde

• E(τ,s) je skutečná analytická Eisensteinova řada, kterou dává

${displaystyle E (au, s) = součet _ {(m, n) eq (0,0)} {y ^ {s} nad | m au + n | ^ {2s}}}$

pro Re (s)> 1, a analytickým pokračováním pro další hodnoty komplexního čísla s.

• γ je Euler – Mascheroniho konstanta
• τ = X + iy s y > 0.
• ${displaystyle eta (au) = q ^ {1/24} prod _ {ngeq 1} (1-q ^ {n})}$, s q = e^{2π i τ} je Funkce Dedekind eta.

Série Eisenstein má tedy pól s = 1 zbytku π a (první) Kroneckerův limitní vzorec udává konstantní člen Laurentova řada na tomto pólu.

Druhý limitní vzorec Kronecker

Druhý limitní vzorec Kronecker to říká

${displaystyle E_ {u, v} (au, 1) = - 2pi log | f (u-v au; au) q ^ {v ^ {2} / 2} |,}$

kde

• u a proti jsou skutečná a ne obě celá čísla.
• q = e^{2π i τ} a q^A = e^{2π i Aτ}
• p = e^{2π i z} a p^A = e^{2π i az}
• ${displaystyle E_ {u, v} (au, s) = součet _ {(m, n) eq (0,0)} e ^ {2pi i (mu + nv)} {y ^ {s} nad | m au + n | ^ {2s}}}$

pro Re (s)> 1, a je definován analytickým pokračováním pro další hodnoty komplexního čísla s.

• ${displaystyle f (z, au) = q ^ {1/12} (p ^ {1/2} -p ^ {- 1/2}) prod _ {ngeq 1} (1-q ^ {n} p) (1-q ^ {n} / p).}$

Viz také

• Funkce Herglotz – Zagier

Reference

• Serge Lang, Eliptické funkce, ISBN  0-387-96508-4
• C. L. Siegel, Přednášky o pokročilé analytické teorii čísel, Tata institut 1961.

externí odkazy

• Kapitola0.pdf^{[mrtvý odkaz ]}