Míra intenzity - Intensity measure

v teorie pravděpodobnosti, an míra intenzity je opatření který je odvozen z a náhodné opatření. Míra intenzity není náhodná a je definována jako očekávaná hodnota náhodné míry sady, proto odpovídá průměrnému objemu, který náhodná míra přiřadí sadě. Míra intenzity obsahuje důležité informace o vlastnostech náhodné míry. A Proces Poissonova bodu, interpretovaný jako náhodná míra, je například jednoznačně určen mírou její intenzity. ^[1]

Definice

Nechat ${ displaystyle zeta}$ být náhodné opatření na měřitelný prostor ${ displaystyle (S, { mathcal {S}})}$ a označit očekávaná hodnota náhodného prvku ${ displaystyle Y}$ s ${ displaystyle operatorname {E} [Y]}$.

Míra intenzity

${ displaystyle operatorname {E} zeta colon { mathcal {A}} do [0, infty]}$

z ${ displaystyle zeta}$ je definován jako

${ displaystyle operatorname {E} zeta (A) = operatorname {E} [ zeta (A)]}$

pro všechny ${ displaystyle A v { mathcal {A}}}$.^{[2] [3]}

Všimněte si rozdílu v notaci mezi očekávanou hodnotou náhodného prvku ${ displaystyle Y}$, označeno ${ displaystyle operatorname {E} [Y]}$ a míra intenzity náhodného opatření ${ displaystyle zeta}$, označeno ${ displaystyle operatorname {E} zeta}$.

Vlastnosti

Míra intenzity ${ displaystyle operatorname {E} zeta}$ je vždy s-konečný a uspokojuje

${ displaystyle operatorname {E} left [ int f (x) ; zeta ( mathrm {d} x) right] = int f (x) operatorname {E} zeta (dx)}$

za každé pozitivní měřitelná funkce ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle (S, { mathcal {A}})}$.^[3]

Reference