Přechodové jádro - Transition kernel

V matematika pravděpodobnosti, a přechodové jádro nebo jádro je funkce v matematice, která má různé aplikace. K definování lze například použít jádra náhodná opatření nebo stochastické procesy. Nejdůležitějším příkladem jader jsou Markovská jádra.

Definice

Nechat ${ displaystyle (S, { mathcal {S}})}$ , ${ displaystyle (T, { mathcal {T}})}$ být dva měřitelné prostory. Funkce

{ displaystyle kappa dvojtečka S krát { mathcal {T}} až [0, + infty]}

se nazývá (přechodové) jádro z ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle T}$ pokud platí následující dvě podmínky:^[1]

Pro všechny pevné ${ displaystyle B v { mathcal {T}}}$ , mapování

{ displaystyle s mapsto kappa (s, B)}

je měřitelný

Pro každou pevnou ${ displaystyle s v S}$ , mapování

{ displaystyle B mapsto kappa (s, B)}

je opatření

Klasifikace přechodových jader

Přechodová jádra jsou obvykle klasifikována podle opatření, která definují. Tato opatření jsou definována jako

{ displaystyle kappa _ {s} dvojtečka { mathcal {T}} až [0, + infty]}

s

{ displaystyle kappa _ {s} (B) = kappa (s, B)}

pro všechny ${ displaystyle B v { mathcal {T}}}$ a všechno ${ displaystyle s v S}$ . S touto notací jádro ${ displaystyle kappa}$ je nazýván^[1]^[2]

A subochastické jádro, dílčí pravděpodobnost jádra nebo a sub-Markovovo jádro padám ${ displaystyle kappa _ {s}}$ jsou opatření dílčí pravděpodobnosti
A Markovovo jádro, stochastické jádro nebo pravděpodobnostní jádro, pokud existuje ${ displaystyle kappa _ {s}}$ jsou pravděpodobnostní opatření
A konečné jádro padám ${ displaystyle kappa _ {s}}$ jsou konečná opatření
A ${ displaystyle sigma}$ - konečné jádro padám ${ displaystyle kappa _ {s}}$ jsou ${ displaystyle sigma}$ - konečná opatření
A s-konečné jádro padám ${ displaystyle kappa _ {s}}$ jsou s-konečná opatření
A jednotně ${ displaystyle sigma}$ - konečné jádro pokud existuje nanejvýš spočetně mnoho měřitelných sad ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, tečky}$ v ${ displaystyle T}$ s ${ displaystyle kappa _ {s} (B_ {i}) < infty}$ pro všechny ${ displaystyle s v S}$ a všechno ${ displaystyle i in mathbb {N}}$ .

Operace

V této části pojďme ${ displaystyle (S, { mathcal {S}})}$ , ${ displaystyle (T, { mathcal {T}})}$ a ${ displaystyle (U, { mathcal {U}})}$ být měřitelné prostory a označit součin σ-algebra z ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ s ${ displaystyle { mathcal {S}} další časy { mathcal {T}}}$

Produkt jader

Definice

Nechat ${ displaystyle kappa ^ {1}}$ být s-konečným jádrem z ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle T}$ a ${ displaystyle kappa ^ {2}}$ být s-konečným jádrem z ${ displaystyle S krát T}$ na ${ displaystyle U}$ . Pak produkt ${ displaystyle kappa ^ {1} další kappa ^ {2}}$ dvou jader je definováno jako^[3]^[4]

{ displaystyle kappa ^ {1} otimes kappa ^ {2} dvojtečka S times ({ mathcal {T}} otimes { mathcal {U}}) do [0, infty]}

{ displaystyle kappa ^ {1} otimes kappa ^ {2} (s, A) = int _ {T} kappa ^ {1} (s, mathrm {d} t) int _ {U } kappa ^ {2} ((s, t), mathrm {d} u) mathbf {1} _ {A} (t, u)}

pro všechny ${ displaystyle A in { mathcal {T}} další {{mathcal {U}}}$ .

Vlastnosti a komentáře

Produktem dvou jader je jádro z ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle T krát U}$ . Je to opět s-konečné jádro a je ${ displaystyle sigma}$ - konečné jádro, pokud ${ displaystyle kappa ^ {1}}$ a ${ displaystyle kappa ^ {2}}$ jsou ${ displaystyle sigma}$ - konečná jádra. Produkt jader je také asociativní, což znamená, že uspokojuje

{ displaystyle ( kappa ^ {1} otimes kappa ^ {2}) otimes kappa ^ {3} = kappa ^ {1} otimes ( kappa ^ {2} otimes kappa ^ {3 })}

pro libovolná tři vhodná s-konečná jádra ${ displaystyle kappa ^ {1}, kappa ^ {2}, kappa ^ {3}}$ .

Produkt je také dobře definován, pokud ${ displaystyle kappa ^ {2}}$ je jádro z ${ displaystyle T}$ na ${ displaystyle U}$ . V tomto případě se s ním zachází jako s jádrem z ${ displaystyle S krát T}$ na ${ displaystyle U}$ to je nezávislé na ${ displaystyle S}$ . To odpovídá nastavení

{ displaystyle kappa ((s, t), A): = kappa (t, A)}

pro všechny ${ displaystyle A v { mathcal {U}}}$ a všechno ${ displaystyle s v S}$ .^[4]^[3]

Složení jader

Definice

Nechat ${ displaystyle kappa ^ {1}}$ být s-konečným jádrem z ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle T}$ a ${ displaystyle kappa ^ {2}}$ s-konečné jádro z ${ displaystyle S krát T}$ na ${ displaystyle U}$ . Pak složení ${ displaystyle kappa ^ {1} cdot kappa ^ {2}}$ dvou jader je definováno jako^[5]^[3]

{ displaystyle kappa ^ {1} cdot kappa ^ {2} dvojtečka S krát { mathcal {U}} až [0, infty]}

{ displaystyle (s, B) mapsto int _ {T} kappa ^ {1} (s, mathrm {d} t) int _ {U} kappa ^ {2} ((s, t) , mathrm {d} u) mathbf {1} _ {B} (u)}

pro všechny ${ displaystyle s v S}$ a všechno ${ displaystyle B v { mathcal {U}}}$ .

Vlastnosti a komentáře

Složení je jádro z ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle U}$ to je opět s-konečné. Složení jader je asociativní, což znamená, že uspokojuje

{ displaystyle ( kappa ^ {1} cdot kappa ^ {2}) cdot kappa ^ {3} = kappa ^ {1} cdot ( kappa ^ {2} cdot kappa ^ {3 })}

pro libovolná tři vhodná s-konečná jádra ${ displaystyle kappa ^ {1}, kappa ^ {2}, kappa ^ {3}}$ . Stejně jako produkt jader je i složení dobře definované, pokud ${ displaystyle kappa ^ {2}}$ je jádro z ${ displaystyle T}$ na ${ displaystyle U}$ .

Alternativní notace je pro složení je ${ displaystyle kappa ^ {1} kappa ^ {2}}$ ^[3]

Jádra jako operátoři

Nechat ${ displaystyle { mathcal {T}} ^ {+}, { mathcal {S}} ^ {+}}$ být soubor pozitivních měřitelných funkcí na ${ displaystyle (S, { mathcal {S}}), (T, { mathcal {T}})}$ .