Věta o nestlačení - Non-squeezing theorem - Wikipedia

The věta o nestlačení, také zvaný Gromovova nemačkající věta, je jednou z nejdůležitějších vět v symplektická geometrie.^[1] Poprvé to bylo prokázáno v roce 1985 Michail Gromov.^[2] Věta říká, že nelze vložit míč do válce pomocí a symplektická mapa ledaže je poloměr koule menší nebo rovný poloměru válce. Důležitost této věty je následující: o geometrii za ní bylo známo velmi málo symplektické transformace.

Jedním snadným důsledkem toho, že transformace je symplektická, je její zachování hlasitost.^[3] Jeden může snadno vložit kouli jakéhokoli poloměru do válce kteréhokoli jiného poloměru pomocí a zachování objemu transformace: jen obrázek mačkání míč do válce (odtud název věty o nezmáčknutí). Věta o nezmáčknutí nám tedy říká, že ačkoliv symplektické transformace zachovávají objem, je mnohem restriktivnější, aby transformace byla symplektická, než aby zachovávala objem.

Pozadí a prohlášení

Začneme zvážením symplektických prostorů

${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n} = {z = (x_ {1}, ldots, x_ {n}, y_ {1}, ldots, y_ {n}) },}$

koule o poloměru R: ${ displaystyle B (R) = {z v mathbb {R} ^ {2n} | | z |$

a válec o poloměru r: ${ displaystyle Z (r) = {z v mathbb {R} ^ {2n} ~ | ~ x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} ~ | ~$

každý obdařen symlektická forma

${ displaystyle omega = dx_ {1} klín dy_ {1} + cdots + dx_ {n} klín dy_ {n}.}$

Poznámka: Volba os pro válec není libovolná vzhledem k výše uvedené pevné symplektické formě; jmenovitě kruhy válce leží každý v symplektickém podprostoru o ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$.

Věta o nezmáčknutí nám říká, že pokud najdeme symplektické vložení φ : B(R) → Z(r) pak R ≤ r.

„Symlektický velbloud“

Gromovova nemačkající věta se také stala známou jako princip symplektického velblouda od té doby Ian Stewart odkazoval na to narážkou na podobenství o velbloud a oko jehly.^[4] Tak jako Maurice A. de Gosson uvádí:

Proč tedy v názvu tohoto článku odkazujeme na symlektického velblouda? Důvodem je, že lze Gromovovu větu přeformulovat následujícím způsobem: neexistuje způsob, jak deformovat a fázový prostor míč pomocí kanonické transformace takovým způsobem, že jej můžeme nechat projít dírou v rovině souřadných souřadnic ${ displaystyle x_ {j}}$ , ${ displaystyle p_ {j}}$ pokud je plocha této díry menší než plocha průřezu této koule.

— Maurice A. de Gosson, Symplektický velbloud a princip nejistoty: Špička ledovce?^[5]

Podobně:

Intuitivně nelze objem ve fázovém prostoru protáhnout vzhledem k jedné konkrétní symplektické rovině více, než umožňuje jeho „symplektická šířka“. Jinými slovy je nemožné vtlačit do oka jehly symplektického velblouda, pokud je jehla dostatečně malá. Jedná se o velmi silný výsledek, který je úzce spjat s hamiltonovskou povahou systému, a je to úplně jiný výsledek než Liouvilleova věta, který zajímá pouze celkový objem a nepředstavuje žádné omezení pro tvar.

— Andrea Censi, Symplectic velbloudi a analýza nejistoty^[6]

De Gosson ukázal, že věta o nezmáčknutí je úzce spjata s Robertson – Schrödinger – Heisenbergova nerovnost, zobecnění Heisenbergův vztah nejistoty. The Robertson – Schrödinger – Heisenberg nerovnost tvrdí, že:

${ displaystyle var (Q) var (P) geq cov ^ {2} (Q, P) + left ({ frac { hbar} {2}} right) ^ {2}}$

s Q a P kanonické souřadnice a var a cov rozptylové a kovarianční funkce.^[7]

Reference

Další čtení

• Maurice A. de Gosson: Symlektické vejce, arXiv: 1208.5969v1, předloženo 29. srpna 2012 - obsahuje důkaz o variantě věty pro případ lineární kanonické transformace
• Dusa McDuff: Co je to symplektická geometrie?, 2009