Pseudokonvexita - Pseudoconvexity

v matematika, přesněji v teorii funkcí několik složitých proměnných, a pseudokonvexní sada je speciální typ otevřená sada v n-rozměrný komplexní prostor Cⁿ. Pseudokonvexní množiny jsou důležité, protože umožňují klasifikaci domény holomorfie.

Nechat

{ displaystyle G podmnožina { mathbb {C}} ^ {n}}

být doménou, tj. doménou otevřeno připojeno podmnožina. Jeden to říká ${ displaystyle G}$ je pseudokonvexní (nebo Hartogy pseudokonvexní) pokud existuje a kontinuální plurisubharmonic funkce ${ displaystyle varphi}$ na ${ displaystyle G}$ takové, že soubor

{ displaystyle {z v G mid varphi (z)

je relativně kompaktní podmnožina ${ displaystyle G}$ pro všechny reálná čísla ${ displaystyle x.}$ Jinými slovy, doména je pseudokonvexní, pokud ${ displaystyle G}$ má nepřetržitou plurisubharmonii funkce vyčerpání. Každý (geometricky) konvexní sada je pseudokonvexní.

Když ${ displaystyle G}$ má ${ displaystyle C ^ {2}}$ (dvakrát průběžně diferencovatelné ) hranice, tato představa je stejná jako Leviho pseudokonvexita, se kterou se snáze pracuje. Přesněji řečeno, s ${ displaystyle C ^ {2}}$ lze prokázat, že ${ displaystyle G}$ má definující funkci; tj. že existuje ${ displaystyle rho: mathbb {C} ^ {n} do mathbb {R}}$ který je ${ displaystyle C ^ {2}}$ aby ${ displaystyle G = { rho <0 }}$ , a ${ displaystyle částečné G = { rho = 0 }}$ . Nyní, ${ displaystyle G}$ je pseudokonvexní, pokud pro všechny ${ displaystyle p in částečné G}$ a ${ displaystyle w}$ ve složitém tangenciálním prostoru v p, tj.

{ displaystyle nabla rho (p) w = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac { částečné rho (p)} { částečné z_ {j}}} w_ {j} = 0}

, my máme

{ displaystyle sum _ {i, j = 1} ^ {n} { frac { částečné ^ {2} rho (p)} { částečné z_ {i} částečné { bar {z_ {j} }}}} w_ {i} { bar {w_ {j}}} geq 0.}

Li ${ displaystyle G}$ nemá ${ displaystyle C ^ {2}}$ hranice může být užitečný následující výsledek aproximace.

Tvrzení 1 Li ${ displaystyle G}$ je pseudokonvexní, pak existují ohraničený, silně Levi pseudokonvexní domény ${ displaystyle G_ {k} podmnožina G}$ s ${ displaystyle C ^ { infty}}$ (hladký ) hranice, které jsou v ${ displaystyle G}$ , takový, že

{ displaystyle G = bigcup _ {k = 1} ^ { infty} G_ {k}.}

Je to proto, že jakmile máme ${ displaystyle varphi}$ stejně jako v definici můžeme skutečně najít a C^∞ funkce vyčerpání.

Pouzdro n = 1

V jedné komplexní dimenzi je každá otevřená doména pseudokonvexní. Koncept pseudokonvexity je tedy užitečnější v dimenzích vyšších než 1.

Viz také

Reference

Lars Hörmander, Úvod do komplexní analýzy v několika proměnných, Severní Holandsko, 1990. (ISBN 0-444-88446-7).
Steven G. Krantz. Teorie funkcí několika komplexních proměnných, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

Tento článek včlení materiál od Pseudoconvex on PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

externí odkazy

Range, R. Michael (únor 2012), „CO JE ... Pseudokonvexní doména?“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 59 (2): 301–303, doi:10.1090 / noti798
„Pseudo-konvexní a pseudo-konkávní“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]