Pseudokonvexní funkce - Pseudoconvex function

v konvexní analýza a variační počet, pobočky matematika, a pseudokonvexní funkce je funkce který se chová jako a konvexní funkce s ohledem na nalezení jeho místní minima, ale ve skutečnosti nemusí být konvexní. Neformálně rozlišitelná funkce je pseudokonvexní, pokud se zvyšuje v libovolném směru, kde má kladnou hodnotu směrový derivát.

Formální definice

Formálně jde o rozlišitelnou funkci se skutečnou hodnotou ${ displaystyle f}$ definováno na (neprázdném) konvexní otevřená sada ${ displaystyle X}$ v konečně-dimenzionální Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$se říká, že je pseudokonvexní pokud pro všechny ${ displaystyle x, y v X}$takhle ${ displaystyle nabla f (x) cdot (y-x) geq 0}$, my máme ${ displaystyle f (y) geq f (x)}$.^[1] Tady ${ displaystyle nabla f}$ je spád z ${ displaystyle f}$, definován

${ displaystyle nabla f = left ({ frac { částečné f} { částečné x_ {1}}}, tečky, { frac { částečné f} { částečné x_ {n}}} vpravo ).}$

Vlastnosti

Každá konvexní funkce je pseudokonvexní, ale obrácení není pravdivé. Například funkce ƒ(X) = X + X³ je pseudokonvexní, ale ne konvexní. Jakákoli pseudokonvexní funkce je kvazikonvexní, ale konverzace není pravdivá, protože funkce ƒ(X) = X³ je kvazikonvexní, ale ne pseudokonvexní. Pseudokonvexita je především zajímavá, protože bod X* je místní minimum pseudokonvexní funkce ƒ právě když je to stacionární bod z ƒ, což znamená, že spád z ƒ zmizí v X*:

${ displaystyle nabla f (x ^ {*}) = 0.}$^[2]

Zobecnění na nediferencovatelné funkce

Pojem pseudokonvexity lze zobecnit na nediferencovatelné funkce následovně.^[3] Vzhledem k jakékoli funkci ƒ : X → R můžeme definovat svršek Diniho derivát z ƒ podle

${ displaystyle f ^ {+} (x, u) = limsup _ {h až 0 ^ {+}} { frac {f (x + hu) -f (x)} {h}}}$

kde u je jakýkoli jednotkový vektor. Funkce se říká, že je pseudokonvexní, pokud se zvyšuje v jakémkoli směru, kde je horní Diniho derivace kladná. Přesněji je to charakterizováno z hlediska subdiferenciální ∂ƒ jak následuje:

• Pro všechny X, y ∈ X, pokud existuje X* ∈ ∂ƒ(X) takhle ${ displaystyle langle x ^ {*}, y-x rangle geq 0 ,,}$ pak ƒ(X) ≤ ƒ(z) pro všechny z na sousedním úsečce X a y.

Související pojmy

A pseudokonkávní funkce je funkce, jejíž zápor je pseudokonvexní. A pseudolineární funkce je funkce, která je jak pseudokonvexní, tak pseudokonkávní.^[4] Například, lineárně-zlomkové programy mít pseudolinear objektivní funkce a omezení lineární nerovnosti: Tyto vlastnosti umožňují řešení frakčně-lineárních problémů variantou simplexní algoritmus (z George B. Dantzig ).^[5][6][7] Vzhledem k funkci η s vektorovou hodnotou existuje obecnější pojem η-pseudokonvexity^[8][9] a η-pseudolinearita, kde se klasická pseudokonvexita a pseudolinearita týkají případu, kdy η (x, y) = y - x.

Viz také

• Pseudokonvexita
• Konvexní funkce
• Kvazikonvexní funkce

Poznámky

Reference

• Floudas, Christodoulos A.; Pardalos, Panos M. (2001), „Zobecněné monotónní mapy s více hodnotami“, Encyklopedie optimalizace, Springer, str. 227, ISBN  978-0-7923-6932-5.
• Mangasarian, O. L. (leden 1965). "Pseudokonvexní funkce". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A Control. 3 (2): 281–290. doi:10.1137/0303020. ISSN  0363-0129.CS1 maint: ref = harv (odkaz).
• Rapcsak, T. (1991-02-15). Msgstr "Na pseudolineárních funkcích". Evropský žurnál operačního výzkumu. 50 (3): 353–360. doi:10.1016 / 0377-2217 (91) 90267-Y. ISSN  0377-2217.CS1 maint: ref = harv (odkaz)