Bodová třída - Pointclass

V matematické oblasti deskriptivní teorie množin, a bodová třída je sbírka sady z bodů, kde směřovat je obvykle chápán jako prvek některých perfektní Polský prostor. V praxi se bodová třída obvykle vyznačuje určitým druhem vlastnost definovatelnosti; například sbírka všech otevřené sady v některých pevných sbírkách polských prostorů je bodová třída. (Otevřená množina může být v určitém smyslu považována za definovatelnou, protože to nemůže být čistě libovolná sbírka bodů; pro jakýkoli bod v množině musí být v množině také všechny body dostatečně blízké tomuto bodu.)

Bodové třídy nacházejí uplatnění při formulování mnoha důležitých principů a vět z teorie množin a skutečná analýza. Mohou být stanoveny silné teoreticko-teoretické principy rozhodnost různých pointclasses, což zase znamená, že sady v těchto pointclass (nebo někdy i větších) mají vlastnosti pravidelnosti, jako například Lebesgueova měřitelnost (a vskutku univerzální měřitelnost ), majetek Baire a perfektně nastavená vlastnost.

Základní rámec

V praxi teoretici popisných množin často zjednodušují záležitosti tím, že pracují v pevném polském prostoru, jako je Baireův prostor nebo někdy Cantorův prostor, z nichž každý má tu výhodu, že je nulový rozměr, a vskutku homeomorfní na své konečné nebo spočetné síly, takže nikdy nevzniknou úvahy o dimenzionálnosti. Yiannis Moschovakis poskytuje větší obecnost tím, že jednou provždy opraví kolekci podkladových polských prostorů, včetně množiny všech přirozených, množiny všech realit, prostoru Baire a prostoru Cantora, a jinak umožní čtenáři vložit jakýkoli požadovaný dokonalý polský prostor. Pak definuje a produktový prostor být konečný kartézský součin těchto podkladových prostorů. Pak například bodová třída ${displaystyle {oldsymbol {Sigma}} _ {1} ^ {0}}$ of all open sets means the collection of all open subsets of one of these product spaces. Tento přístup brání ${displaystyle {oldsymbol {Sigma}} _ {1} ^ {0}}$ z bytí a správná třída, přičemž je třeba se vyhnout nadměrné přesnosti, pokud jde o konkrétní polské prostory, o nichž se uvažuje (vzhledem k tomu, že důraz je kladen na skutečnost, že ${displaystyle {oldsymbol {Sigma}} _ {1} ^ {0}}$ je sbírka otevřených množin, nikoli na samotných prostorech).

Boldface pointclasses

Bodové třídy v Borelova hierarchie, a ve složitějších projektivní hierarchie, jsou reprezentována řeckými písmeny se subskriptem a superskriptem tučně písma; například, ${displaystyle {oldsymbol {Pi}} _ {1} ^ {0}}$ je bodová třída všech uzavřené sady, ${displaystyle {oldsymbol {Sigma}} _ {2} ^ {0}}$ je bodová třída všech F_σ sady, ${displaystyle {oldsymbol {Delta}} _ {2} ^ {0}}$ je soubor všech sad, které jsou současně F_σ a G_δ, a ${displaystyle {oldsymbol {Sigma}} _ {1} ^ {1}}$ je bodová třída všech analytické sady.

Sady v takových bodových třídách musí být „definovatelné“ pouze do bodu. Například každý singletonová sada v polském prostoru je uzavřen, a tak ${displaystyle {oldsymbol {Pi}} _ {1} ^ {0}}$. Proto to nemůže být každý ${displaystyle {oldsymbol {Pi}} _ {1} ^ {0}}$ množina musí být „definovatelnější“ než libovolný prvek polského prostoru (řekněme libovolné reálné číslo nebo libovolná spočetná posloupnost přirozených čísel). Boldface pointclasses však může (a v praxi to obvykle vyžaduje) vyžadovat, aby množiny ve třídě byly definovatelné vzhledem k nějakému reálnému číslu, které se bere jako věštec. V tomto smyslu je členství v tučně zvýrazněné třídě bodů vlastnost definovatelnosti, i když to není absolutní definovatelnost, ale pouze definovatelnost vzhledem k možnému nedefinovatelnému reálnému číslu.

Boldface pointclasses, nebo alespoň ty, které jsou obvykle považovány, jsou uzavřeny pod Wadge redukovatelnost; to je, vzhledem k množině v bodové třídě, jeho inverzní obraz pod spojitá funkce (z produktového prostoru do prostoru, jehož je daná sada podmnožinou) je také v dané bodové třídě. Tučně označená bodová třída je tedy směrem dolů uzavřeným sjednocením Stupně wadge.

Lightface pointclasses

Borel a projektivní hierarchie mají analogie efektivní popisná teorie množin ve kterém vlastnost definovatelnosti již není relativizována na věštce, ale je absolutní. Pokud například opravíte nějakou sbírku základních otevřených čtvrtí (řekněme v prostoru Baire, kolekce sad formuláře {X∈ω^ω|s je počátečním segmentem X} pro každou pevnou konečnou sekvenci s přirozených čísel), pak otevřený, nebo ${displaystyle {oldsymbol {Sigma}} _ {1} ^ {0}}$, množiny lze charakterizovat jako všechny (libovolné) svazky základních otevřených čtvrtí. Analogické ${displaystyle Sigma _ {1} ^ {0}}$ sady, s lightface ${displaystyle Sigma}$, už nejsou libovolný odbory takových čtvrtí, ale vypočitatelný jejich svazy. To znamená, že sada je lightface ${displaystyle Sigma _ {1} ^ {0}}$, také zvaný efektivně otevřít, pokud existuje vypočítatelná množina S konečných posloupností přirozených tak, že daná množina je spojením množin {X∈ω^ω|s je počátečním segmentem X} pro s v S.

Sada je lightface ${displaystyle Pi _ {1} ^ {0}}$ pokud je doplňkem a ${displaystyle Sigma _ {1} ^ {0}}$ soubor. Tedy každý ${displaystyle Sigma _ {1} ^ {0}}$ sada má alespoň jednu index, který popisuje vypočítatelnou funkci, která vyjmenovává základní otevřené množiny, ze kterých je složena; ve skutečnosti to bude mít nekonečně mnoho takových indexů. Podobně index pro a ${displaystyle Pi _ {1} ^ {0}}$ soubor B popisuje vypočítatelnou funkci výčtu základních otevřených množin v doplňku B.

Sada A je lightface ${displaystyle Sigma _ {2} ^ {0}}$ pokud se jedná o spojení vypočítatelné posloupnosti ${displaystyle Pi _ {1} ^ {0}}$ množiny (tj. existuje vypočítatelný výčet indexů ${displaystyle Pi _ {1} ^ {0}}$ nastavuje takové, že A je spojení těchto souborů). Tento vztah mezi sadami světelných ploch a jejich indexy se používá k rozšíření světelné Borel hierarchie na transfinit, prostřednictvím rekurzivní ordinály. To produkuje to hyperaritmetická hierarchie, což je analoga světla borelovské hierarchie. (Konečné úrovně hyperaritmetická hierarchie jsou známé jako aritmetická hierarchie.)

Podobné zacházení lze aplikovat na projektivní hierarchii. Jeho analog světla je známý jako analytická hierarchie.

souhrn

Každá třída je alespoň tak velká jako třídy nad ní.

Reference

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Popisná teorie množin. Severní Holandsko. ISBN  0-444-70199-0.