Projektivní hierarchie - Projective hierarchy - Wikipedia

V matematické oblasti deskriptivní teorie množin podmnožina ${ displaystyle A}$ a Polský prostor ${ displaystyle X}$ je projektivní Pokud to je ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} _ {n} ^ {1}}$ pro nějaké kladné celé číslo ${ displaystyle n}$ . Tady ${ displaystyle A}$ je

${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} _ {1} ^ {1}}$ -li ${ displaystyle A}$ je analytický
${ displaystyle { boldsymbol { Pi}} _ {n} ^ {1}}$ pokud doplněk z ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle X setminus A}$ , je ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} _ {n} ^ {1}}$
${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} _ {n + 1} ^ {1}}$ pokud existuje polský prostor ${ displaystyle Y}$ a a ${ displaystyle { boldsymbol { Pi}} _ {n} ^ {1}}$ podmnožina ${ displaystyle C subseteq X krát Y}$ takhle ${ displaystyle A}$ je projekce ${ displaystyle C}$ ; to je ${ displaystyle A = {x v X mid existuje y v Y (x, y) v C }}$

Volba polského prostoru ${ displaystyle Y}$ ve třetí větě výše není příliš důležité; mohl by být v definici nahrazen pevným nespočetným polským prostorem, řekněme Baireův prostor nebo Cantorův prostor nebo skutečná linie.

Vztah k analytické hierarchii

Mezi relativizovanými je úzký vztah analytická hierarchie na podmnožinách Baireova prostoru (označeno světlými písmeny ${ displaystyle Sigma}$ a ${ displaystyle Pi}$ ) a projektivní hierarchie na podmnožinách Baireova prostoru (označena tučným písmem) ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}}}$ a ${ displaystyle { boldsymbol { Pi}}}$ ). Ne každý ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} _ {n} ^ {1}}$ podmnožina prostoru Baire je ${ displaystyle Sigma _ {n} ^ {1}}$ . Je však pravda, že pokud podmnožina X prostoru Baire je ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} _ {n} ^ {1}}$ pak existuje sada přirozených čísel A takhle X je ${ displaystyle Sigma _ {n} ^ {1, A}}$ . Podobné prohlášení platí pro ${ displaystyle { boldsymbol { Pi}} _ {n} ^ {1}}$ sady. Soubory klasifikované podle projektivní hierarchie jsou tedy přesně soubory klasifikované podle relativizované verze analytické hierarchie. Tento vztah je důležitý v efektivní popisná teorie množin.

Podobný vztah mezi projektivní hierarchií a relativizovanou analytickou hierarchií platí pro podmnožiny Cantorova prostoru a obecněji podmnožiny jakékoli efektivní polský prostor.

Stůl

Lightface		Tučné písmo
Σ⁰ ₀ = Π⁰ ₀ = Δ⁰ ₀ (někdy stejné jako Δ⁰ ₁)		Σ⁰ ₀ = Π⁰ ₀ = Δ⁰ ₀ (pokud je definováno)
Δ⁰ ₁ = rekurzivní		Δ⁰ ₁ = clopen
Σ⁰ ₁ = rekurzivně spočetné	Π⁰ ₁ = ko-rekurzivně vyčíslitelné	Σ⁰ ₁ = G = otevřeno	Π⁰ ₁ = F = Zavřeno
Δ⁰ ₂		Δ⁰ ₂
Σ⁰ ₂	Π⁰ ₂	Σ⁰ ₂ = F_σ	Π⁰ ₂ = G_δ
Δ⁰ ₃		Δ⁰ ₃
Σ⁰ ₃	Π⁰ ₃	Σ⁰ ₃ = G_δσ	Π⁰ ₃ = F_σδ
⋮		⋮
Σ⁰ _<ω = Π⁰ _<ω = Δ⁰ _<ω = Σ¹ ₀ = Π¹ ₀ = Δ¹ ₀ = aritmetický		Σ⁰ _<ω = Π⁰ _<ω = Δ⁰ _<ω = Σ¹ ₀ = Π¹ ₀ = Δ¹ ₀ = tučné písmo aritmetické
⋮		⋮
Δ⁰ _α (α rekurzivní )		Δ⁰ _α (α počitatelný )
Σ⁰ _α	Π⁰ _α	Σ⁰ _α	Π⁰ _α
⋮		⋮
Σ⁰ _ω^CK ₁ = Π⁰ _ω^CK ₁ = Δ⁰ _ω^CK ₁ = Δ¹ ₁ = hyperaritmetické		Σ⁰ _ω₁ = Π⁰ _ω₁ = Δ⁰ _ω₁ = Δ¹ ₁ = B = Borel
Σ¹ ₁ = světelná plocha analytická	Π¹ ₁ = světelný povrch coanalytic	Σ¹ ₁ = A = analytický	Π¹ ₁ = CA = koanalytický
Δ¹ ₂		Δ¹ ₂
Σ¹ ₂	Π¹ ₂	Σ¹ ₂ = PCA	Π¹ ₂ = CPCA
Δ¹ ₃		Δ¹ ₃
Σ¹ ₃	Π¹ ₃	Σ¹ ₃ = PCPCA	Π¹ ₃ = CPCPCA
⋮		⋮
Σ¹ _<ω = Π¹ _<ω = Δ¹ _<ω = Σ² ₀ = Π² ₀ = Δ² ₀ = analytické		Σ¹ _<ω = Π¹ _<ω = Δ¹ _<ω = Σ² ₀ = Π² ₀ = Δ² ₀ = P = projektivní
⋮		⋮

Reference

Kechris, A. S. (1995), Klasická deskriptivní teorie množin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94374-9
Rogers, Hartley (1987) [1967], Teorie rekurzivních funkcí a efektivní vypočítatelnostPrvní brožované vydání MIT pro tisk, ISBN 978-0-262-68052-3