Efektivní popisná teorie množin - Effective descriptive set theory

Efektivní popisná teorie množin je pobočkou deskriptivní teorie množin jednat s sady z realita mít světelná plocha definice; to znamená definice, které nevyžadují libovolnou realitu parametr (Moschovakis 1980). Účinná deskriptivní teorie množin tedy kombinuje deskriptivní teorii množin s teorie rekurze.

Stavby

Efektivní polský prostor

An efektivní polský prostor je kompletní oddělitelný metrický prostor který má vypočítatelná prezentace. Tyto prostory jsou studovány jak v efektivní deskriptivní teorii množin, tak v konstruktivní analýza. Zejména standardní příklady polských prostor, jako je skutečná linie, Cantor set a Baireův prostor jsou všechny efektivní polské prostory.

Aritmetická hierarchie

The aritmetická hierarchie, aritmetická hierarchie nebo Kleene – Mostowského hierarchie klasifikuje jisté sady na základě složitosti vzorců, které je definují. Každá sada, která obdrží klasifikaci, se nazývá „aritmetická“.

Formálněji aritmetická hierarchie přiřadí klasifikaci vzorcům v jazyce aritmetika prvního řádu. Klasifikace jsou označeny ${ displaystyle Sigma _ {n} ^ {0}}$ a ${ displaystyle Pi _ {n} ^ {0}}$ pro přirozená čísla n (včetně 0). Řecká písmena jsou zde světelná plocha symboly, což znamená, že vzorce neobsahují nastavené parametry.

Pokud vzorec ${ displaystyle phi}$ je logicky ekvivalentní vzorci s pouze omezené kvantifikátory pak ${ displaystyle phi}$ je přiřazena klasifikace ${ displaystyle Sigma _ {0} ^ {0}}$ a ${ displaystyle Pi _ {0} ^ {0}}$.

Klasifikace ${ displaystyle Sigma _ {n} ^ {0}}$ a ${ displaystyle Pi _ {n} ^ {0}}$ jsou definovány indukčně pro každé přirozené číslo n pomocí následujících pravidel:

• Li ${ displaystyle phi}$ je logicky ekvivalentní vzorci formuláře ${ displaystyle existuje n_ {1} existuje n_ {2} cdots existuje n_ {k} psi}$, kde ${ displaystyle psi}$ je ${ displaystyle Pi _ {n} ^ {0}}$, pak ${ displaystyle phi}$ je přiřazena klasifikace ${ displaystyle Sigma _ {n + 1} ^ {0}}$.
• Li ${ displaystyle phi}$ je logicky ekvivalentní vzorci formuláře ${ displaystyle forall n_ {1} forall n_ {2} cdots forall n_ {k} psi}$, kde ${ displaystyle psi}$ je ${ displaystyle Sigma _ {n} ^ {0}}$, pak ${ displaystyle phi}$ je přiřazena klasifikace ${ displaystyle Pi _ {n + 1} ^ {0}}$.

Reference

• Mansfield, Richard; Weitkamp, ​​Galen (1985). Rekurzivní aspekty deskriptivní teorie množin. Oxford University Press. str.124–38. ISBN  978-0-19-503602-2. PAN  0786122.
• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Popisná teorie množin. Severní Holandsko. ISBN  0-444-70199-0. Druhé vydání k dispozici online

Tento teorie množin související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.