| Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
Důležitý problém v kvantová mechanika je to částice v a sféricky symetrický potenciáltj. potenciál, který závisí pouze na vzdálenosti mezi částicemi a definovaným středovým bodem. Zejména pokud jde o elektron, jehož potenciál je odvozen Coulombův zákon, pak lze problém použít k popisu atomu (nebo iontu) podobného vodíku (s jedním elektronem).
Obecně platí, že dynamika částice ve sféricky symetrickém potenciálu je řízena a Hamiltonian v následujícím tvaru:

kde
je hmotnost částice,
je hybný moment operátor a potenciál
záleží jen na
, modul vektoru poloměrur. The kvantově mechanické vlnové funkce a energie (vlastní hodnoty) jsou nalezeny řešením Schrödingerova rovnice s tímto Hamiltonianem. Vzhledem ke sférické symetrii systému je jeho použití přirozené sférické souřadnice
,
a
. Když je to hotové, časově nezávislé Schrödingerova rovnice pro systém je oddělitelný, což umožňuje snadné řešení úhlových problémů, a ponechání obyčejné diferenciální rovnice v
určit energie pro konkrétní potenciál
v diskusi.
Struktura vlastních funkcí
The vlastní státy z Systém mít formu

ve kterém sférické polární úhly θ a φ představují soudržnost a azimutální úhel. Poslední dva faktory ψ jsou často seskupeny jako sférické harmonické, aby vlastní funkce měla podobu

Diferenciální rovnice, která charakterizuje funkci
se nazývá radiální rovnice.
Odvození radiální rovnice
Operátor kinetické energie v sférické polární souřadnice je
![{ frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m_ {0}}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} nabla ^ {2} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {0} , r ^ {2}}} vlevo [{ frac { částečné} { částečné r}} { Big (} r ^ { 2} { frac { částečné} { částečné r}} { velké)} - { hat {l}} ^ {2} vpravo].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b558f211cfe7939e0247b50b60e5a6747a2164d)
The sférické harmonické uspokojit
![{ hat {l}} ^ {2} Y _ {{lm}} ( theta, phi) equiv left {- { frac {1} { sin ^ {2} theta}} left [ sin theta { frac { částečné} { částečné theta}} { Big (} sin theta { frac { částečné} { částečné theta}} { velké)} + { frac { částečné ^ {2}} { částečné phi ^ {2}}} pravé] pravé } Y _ {{lm}} ( theta, phi) = l (l + 1) Y _ {{ lm}} ( theta, phi).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d7cd0b7d4a44fa313c9e3c0d40eeb4e71bf243)
Nahrazením to do Schrödingerova rovnice dostaneme jednorozměrnou rovnici vlastních čísel,
![{ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} {d over dr} left (r ^ {2} {dR over dr} right) - {l (l + 1) over r ^ {2}} R + { frac {2m_ {0}} { hbar ^ {2}}} [EV (r)] R = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f4dbacd40870e0daa69def7b6dd30b794db259)
Tuto rovnici lze snížit na ekvivalentní 1-D Schrödingerovu rovnici dosazením
, kde
splňuje
![{ displaystyle {d ^ {2} chi over dr ^ {2}} + { frac {2m_ {0}} { hbar ^ {2}}} [E-V _ { mathrm {eff}} ( r)] chi = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0fc97d0615722399e636a777cfbb6a12e210102)
což je přesně jednorozměrná Schrödingerova rovnice s účinným potenciálem daným

kde radiální souřadnice r se pohybuje od 0 do
. Oprava potenciálu PROTI(r) se nazývá odstředivá bariéra.
Li
, pak blízko původu,
.
Řešení pro potenciální zájem
Objevuje se pět zvláštních případů zvláštního významu:
- PROTI(r) = 0, nebo řešení vakua na základě sférické harmonické, který slouží jako základ pro další případy.
(konečný) pro
a nekonečno jinde, nebo částice ve sférickém ekvivalentu čtvercová studna užitečné popsat vázané státy v jádro nebo kvantová tečka.- Jako v předchozím případě, ale s nekonečně vysokým skokem potenciálu na povrchu koule.
- PROTI(r) ~ r2 pro trojrozměrný izotropní harmonický oscilátor.
- PROTI(r) ~ 1/r popsat vázané stavy atomy podobné vodíku.
Načrtneme řešení v těchto případech, která by měla být porovnána s jejich protějšky v Kartézské souřadnice srov. částice v krabici. Tento článek do značné míry závisí Besselovy funkce a Laguerrovy polynomy.
Vakuové pouzdro
Uvažujme nyní PROTI(r) = 0 (pokud
, nahradit všude E s
). Představujeme bezrozměrnou proměnnou

rovnice se stane Besselovou rovnicí pro J definován
(odkud je notační volba J):
![rho ^ {2} {d ^ {2} J nad d rho ^ {2}} + rho {dJ nad d rho} + left [ rho ^ {2} - left (l + { frac {1} {2}} vpravo) ^ {2} vpravo] J = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5717b4612192caf988f58172c5146c8528ffcba3)
které pravidelná řešení pro pozitivní energie jsou dána tzv Besselovy funkce prvního druhu “
aby řešení napsaná pro R jsou tzv Funkce sférického Bessela
.
Řešení Schrödingerovy rovnice v polárních souřadnicích částice hmotnosti
ve vakuu jsou označeny třemi kvantovými čísly: diskrétní indexy l a m, a k průběžně se mění v
:

kde
,
jsou sférické Besselovy funkce a
jsou sférické harmonické.
Tato řešení představují spíše stavy určité momentu hybnosti než určité (lineární) hybnosti, které jsou poskytovány rovinnými vlnami
.
Koule s konečným „čtvercovým“ potenciálem
Uvažujme nyní o potenciálu
pro
a
někde jinde. To znamená uvnitř koule o poloměru
potenciál se rovná PROTI0 a mimo sféru je nula. Potenciál s takovou konečnou diskontinuitou se nazývá a čtvercový potenciál.[1]
Nejprve uvažujeme vázané stavy, tj. Stavy, které zobrazují částice většinou uvnitř rámečku (omezené stavy). Ty mají energii E menší než potenciál mimo sféru, tj. mají negativní energii, a uvidíme, že existuje diskrétní počet takových stavů, které porovnáme s pozitivní energií se spojitým spektrem, popisující rozptyl na sféře (nevázaných stavů ). Za povšimnutí stojí také to, že na rozdíl od Coulombova potenciálu, který má nekonečné množství diskrétních vázaných stavů, má sférická čtvercová studna kvůli svému konečnému rozsahu (pokud má konečnou hloubku) pouze konečné (pokud nějaké) číslo.
Rozlišení v podstatě následuje po vakuu s přidanou normalizací celkové vlnové funkce a řeší dvě Schrödingerovy rovnice - uvnitř a vně koule - předchozího druhu, tj. S konstantním potenciálem. Platí také následující omezení:
- Vlnová funkce musí být na počátku pravidelná.
- Vlnová funkce a její derivace musí být spojité při potenciální diskontinuitě.
- Vlnová funkce musí konvergovat v nekonečnu.
První omezení vychází ze skutečnosti, že Neumann N a Hankel H funkce jsou v počátcích jednotného čísla. Fyzický argument ψ musí být definováno všude vybrané Besselova funkce prvního druhu J nad ostatními možnostmi ve vakuové skříni. Ze stejného důvodu bude řešení tohoto druhu uvnitř koule:

s A konstanta bude určena později. Všimněte si, že pro vázané státy
.
Vázané státy přinášejí novinku ve srovnání s vakuovým případem E je nyní negativní (ve vakuu to mělo být pozitivní). Toto, spolu s třetím omezením, vybere Hankelovu funkci prvního druhu jako jediné konvergující řešení v nekonečnu (na singularitě při vzniku těchto funkcí nezáleží, protože jsme nyní mimo sféru):

Druhé omezení kontinuity ψ at
spolu s normalizací umožňuje stanovení konstant A a B. Kontinuita derivátu (nebo logaritmická derivace pro pohodlí) vyžaduje kvantování energie.
Koule s nekonečným „čtvercovým“ potenciálem
V případě, že potenciální studna je nekonečně hluboká, abychom ji mohli vzít
uvnitř koule a
venku se stává problémem přizpůsobení vlnové funkce uvnitř koule ( sférické Besselovy funkce ) s identicky nulovou vlnovou funkcí mimo kouli. Povolené energie jsou ty, pro které radiální vlnová funkce na hranici zmizí. Proto používáme nuly sférických Besselových funkcí k nalezení energetického spektra a vlnových funkcí. Povolání
the kth nula z
, my máme:

Takže ten je redukován na výpočty těchto nul
, obvykle pomocí tabulky nebo kalkulačky, protože tyto nuly nejsou pro obecný případ řešitelné.
Ve zvláštním případě
(sférické symetrické orbitaly), sférická Besselova funkce je
, které nuly lze snadno uvést jako
. Jejich vlastní čísla energie jsou tedy:

3D izotropní harmonický oscilátor
Potenciál a 3D izotropní harmonický oscilátor je

v tento článek je ukázáno, že N-dimenzionální izotropní harmonický oscilátor má energie

tj., n je nezáporné celé číslo; ω je (stejná) základní frekvence N režimy oscilátoru. V tomto případě N = 3, takže radiální Schrödingerova rovnice se stane,
![left [- { hbar ^ {2} nad 2 m_ {0}} {d ^ {2} nad dr ^ {2}} + { hbar ^ {2} l (l + 1) nad 2 m_ { 0} r ^ {2}} + { frac {1} {2}} m_ {0} omega ^ {2} r ^ {2} - hbar omega { bigl (} n + { tfrac {3 } {2}} { bigr)} right] u (r) = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53645019136537a61318fe0243d6009397f2fbe5)
Představujeme

a připomíná to
, ukážeme, že radiální Schrödingerova rovnice má normalizované řešení,

kde funkce
je zobecněný Laguerreův polynom v yr2 řádu k (tj. nejvyšší síla polynomu je úměrná ykr2k).
Normalizační konstanta Nnl je,
![N _ {{nl}} = left [{ frac {2 ^ {{n + l + 2}} , gamma ^ {{l + { frac {3} {2}}}}} { pi ^ {{{ frac {1} {2}}}}}} vpravo] ^ {{{ frac {1} {2}}}} vlevo [{ frac {[{ frac {1} {2 }} (nl)]! ; [{ frac {1} {2}} (n + l)]!} {(n + l + 1)!}} vpravo] ^ {{{ frac {1 } {2}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df40a133b0ebe5bad17a278424ac20c39ba16f3f)
Vlastní funkce Rn, l(r) patří k energii En a má se vynásobit sférickou harmonickou
, kde

Jedná se o stejný výsledek, jaký je uveden v dokumentu Harmonický oscilátor článek, s malým notovým rozdílem
.
Derivace
Nejprve transformujeme radiální rovnici několika po sobě jdoucími substitucemi na zobecněnou Laguerrovu diferenciální rovnici, která má známá řešení: zobecněné Laguerrovy funkce. Potom normalizujeme zobecněné Laguerrovy funkce na jednotu. Tato normalizace je s obvyklým objemovým prvkem r2 dr.
Nejprve my měřítko radiální souřadnice

a pak se stane rovnice
![{ displaystyle left [{d ^ {2} over dy ^ {2}} - {l (l + 1) over y ^ {2}} - y ^ {2} + 2n + 3 right] v (y) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbc584a2f3fa3c87cae472abb22ce6a573eeb46)
s
.
Zohlednění omezujícího chování proti(y) v počátku a v nekonečnu navrhuje následující náhradu za proti(y),

Tato substituce transformuje diferenciální rovnici na
![left [{d ^ {2} over dy ^ {2}} + 2 left ({ frac {l + 1} {y}} - y right) { frac {d} {dy}} + 2n-2l pravý] f (y) = 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bead338e41c926813e93036ab0fe9bfee2eea7)
kde jsme se rozdělili
, což lze provést, pokud y není nula.
Transformace na Laguerrovy polynomy
Pokud je nahrazení
se používá,
a operátory diferenciálu se stanou


Násobení v hranatých závorkách se znásobuje F(y) se stává diferenciální rovnicí charakterizující zobecněnou Laguerrova rovnice (viz také Kummerova rovnice ):

s
.
Pokud
je nezáporné celé číslo, řešení těchto rovnic je zobecněno (přidruženo) Laguerrovy polynomy

Z podmínek na k následuje: (i)
a (ii) n a l jsou buď liché, nebo obě sudé. To vede ke stavu zapnuto l uvedené výše.
Obnova normalizované radiální vlnové funkce
Pamatuji si to
, dostaneme normalizované radiální řešení

Normalizační podmínka pro radiální vlnovou funkci je

Střídání
, dává
a rovnice se stane
![{ frac {N _ {{nl}} ^ {2}} {2 gamma ^ {{l + {3 přes 2}}}}} int _ {0} ^ { infty} q ^ {{l + { 1 nad 2}}} e ^ {{- q}} vlevo [L _ {{{ frac {1} {2}} (nl)}}} {{(l + { frac {1} {2} })}} (q) vpravo] ^ {2} , dq = 1.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96e14c2255ec6d98e3eb39e685410618241c46f)
Využitím vlastnosti ortogonality zobecněných Laguerrových polynomů se tato rovnice zjednodušuje na
![{ frac {N _ {{nl}} ^ {2}} {2 gamma ^ {{l + {3 přes 2}}}}} cdot { frac { Gamma [{ frac {1} {2 }} (n + l + 1) +1]} {[{ frac {1} {2}} (nl)]!}} = 1.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a4dcdc0bd59435f6639b984ee1dfdcd03a239a)
Proto je normalizační konstanta lze vyjádřit jako

Další formy normalizační konstanty lze odvodit pomocí vlastnosti funkce gama, přičemž si toho všímá n a l jsou oba stejné parity. Tohle znamená tamto n + l je vždy sudé, takže se stane funkce gama
![Gamma left [{1 over 2} + left ({ frac {n + l} {2}} + 1 right) right] = { frac {{ sqrt { pi}} (n + l + 1) !!} {2 ^ {{{ frac {n + l} {2}} + 1}}}} = { frac {{ sqrt { pi}} (n + l + 1 )!} {2 ^ {{n + l + 1}} [{ frac {1} {2}} (n + l)]!}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bca51defdf4c969d68ce3347c4dbc283e56bd3f)
kde jsme použili definici dvojitý faktoriál. Normalizační konstanta je tedy také dána vztahem
![N _ {{nl}} = left [{ frac {2 ^ {{n + l + 2}} , gamma ^ {{l + {3 nad 2}}} , [{1 nad 2} (nl)]! ; [{1 nad 2} (n + l)]!} {; pi ^ {{1 nad 2}} (n + l + 1)!}} vpravo] ^ {{1 nad 2}} = { sqrt {2}} vlevo ({ frac { gamma} { pi}} vpravo) ^ {{1 nad 4}} , ({2 gamma }) ^ {{ ell nad 2}} , { sqrt {{ frac {2 gamma (nl) !!} {(n + l + 1) !!}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1496db326736bcdd9122ad3132640dfa7b3bf5ae)
Atomy podobné vodíku
Vodíkový atom podobný vodíku je dvoučásticový systém skládající se z jádra a elektronu. Tyto dvě částice interagují prostřednictvím potenciálu daného Coulombův zákon:

kde
Hmotnost m0, představený výše, je snížená hmotnost systému. Protože hmotnost elektronu je asi 1836krát menší než hmotnost nejlehčího jádra (protonu), hodnota m0 je velmi blízký hmotnosti elektronu mE pro všechny atomy vodíku. Ve zbývající části článku provedeme aproximaci m0 = mE. Od té doby mE se ve vzorcích objeví výslovně, bude možné tuto aproximaci v případě potřeby snadno opravit.
Abychom zjednodušili Schrödingerovu rovnici, zavedeme následující konstanty, které definují atomová jednotka energie, respektive délky

Náhradní
a
do radiální Schrödingerovy rovnice uvedené výše. To dává rovnici, ve které jsou skryty všechny přirozené konstanty,
![left [- { frac {1} {2}} { frac {d ^ {2}} {dy ^ {2}}} + { frac {1} {2}} { frac {l (l +1)} {y ^ {2}}} - { frac {1} {y}} vpravo] u_ {l} = Wu_ {l}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc70d21c88ebb3c2079b4c623654e66615f31603)
Existují dvě třídy řešení této rovnice: (i) Ž je záporné, odpovídající vlastní funkce jsou čtvercově integrovatelné a hodnoty Ž jsou kvantovány (diskrétní spektrum). (ii) Ž není negativní. Každá skutečná nezáporná hodnota Ž je fyzicky povoleno (spojité spektrum), odpovídající vlastní funkce nejsou integrovatelné do čtverce. Ve zbývající části tohoto článku budou uvažována pouze řešení třídy (i). Vlnové funkce jsou známé jako vázané státy, na rozdíl od řešení třídy (ii), která jsou známá jako rozptylové stavy.
Pro negativní Ž množství
je skutečný a pozitivní. Škálování y, tj. substituce
dává Schrödingerovu rovnici:
![left [{ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} - { frac {l (l + 1)} {x ^ {2}}} + { frac {2} { alpha x}} - { frac {1} {4}} right] u_ {l} = 0, quad { text {with}} x geq 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953ab82176eda9c5941844a10a5f4eb95e7cf429)
Pro
inverzní síly X jsou zanedbatelné a řešení pro velké X je
. Druhé řešení,
, je fyzicky nepřijatelné. Pro
převládá moc inverzního čtverce a řešení pro malé X je Xl+1. Druhé řešení, X−l, je fyzicky nepřijatelné. Proto pro získání řešení v plném rozsahu nahrazujeme

Rovnice pro Fl(X) se stává,
![{ displaystyle left [x { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + (2l + 2-x) { frac {d} {dx}} + (nl-1) vpravo] f_ {l} (x) = 0 quad { hbox {with}} quad n = (- 2W) ^ {- { frac {1} {2}}} = { frac {2} { alpha}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b85ea837a9203d2f6d467ed83bcbfaa3d306796)
Pokud
je nezáporné celé číslo, řekněme k, tato rovnice má polynomiální řešení napsaná jako

což jsou zobecněné Laguerrovy polynomy řádu k. Vezmeme konvenci pro zobecněné Laguerreovy polynomy Abramowitze a Steguna.[2]Všimněte si, že Laguerrovy polynomy uvedené v mnoha učebnicích kvantové mechaniky, například v knize Mesiáše,[1] jsou Abramowitze a Steguna vynásobené faktorem (2l + 1 + k)! Uvedená definice v tomto článku na Wikipedii shoduje se s Abramowitzem a Stegunem.
Energie se stává

The hlavní kvantové číslo n splňuje
nebo
.Od té doby
, celková radiální vlnová funkce je

s normalizační konstantou
![N _ {{nl}} = left [ left ({ frac {2Z} {na_ {0}}} right) ^ {3} cdot { frac {(nl-1)!} {2n [( n + l)!] ^ {3}}} vpravo] ^ {{1 nad 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8791b96382c06af2523a823af27bc557e7fe1a)
která patří k energii

Při výpočtu normalizace byla použita konstanta integrálu[3]
![int _ {0} ^ { infty} x ^ {{2l + 2}} e ^ {{- x}} left [L _ {{nl-1}} ^ {{(2l + 1)}} ( x) right] ^ {2} dx = { frac {2n (n + l)!} {(nl-1)!}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3fa8ec2e01bd31e8d6c639978e03cdc3688ec4)
Reference
- ^ A b A. Messiah, Kvantová mechanika, sv. Já, str. 78, North Holland Publishing Company, Amsterdam (1967). Překlad z francouzštiny G.M. Temmer
- ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 22“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 775. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. PAN 0167642. LCCN 65-12253.
- ^ H. Margenau a G. M. Murphy, Matematika fyziky a chemie, Van Nostrand, 2. vydání (1956), s. 130. Všimněte si, že konvence Laguerrova polynomu v této knize se liší od této. Pokud označíme Laguerre v definici Margenau a Murphyho s pruhem nahoře, máme
.