Stav kompaktnosti Palais – Smale - Palais–Smale compactness condition

The Stav kompaktnosti Palais – Smale, pojmenoval podle Richard Palais a Stephen Smale, je hypotéza pro některé věty o variační počet. Je to užitečné pro zaručení existence určitých druhů kritické body, zejména sedlové body. Stav Palais-Smale je stav na funkční ten se snaží extremizovat.

V konečných dimenzionálních prostorech je podmínka Palais – Smale pro nepřetržitě diferencovatelnou funkci se skutečnou hodnotou automaticky splněna pro správné mapy: funkce, které nepřijímají neomezené množiny do omezených množin. V variačním počtu, kde se člověk obvykle zajímá o nekonečně dimenzionální funkční prostory, podmínka je nutná, protože nějaký další pojem o kompaktnost nad rámec prosté omezenosti je zapotřebí. Viz například doklad o věta o horském průsmyku v oddíle 8.5 Evans.

Silná formulace

A nepřetržitě Fréchet rozlišitelný funkční ${displaystyle Iin C ^ {1} (H, mathbb {R})}$ od a Hilbertův prostor H do realita splňuje podmínku Palais – Smale, pokud existuje sekvence ${displaystyle {u_ {k}} _ {k = 1} ^ {infty} podmnožina H}$ takové, že:

• ${displaystyle {I [u_ {k}]} _ {k = 1} ^ {infty}}$ je ohraničený a
• ${displaystyle I '[u_ {k}] ightarrow 0}$ v H

má konvergentní subsekvenci v H.

Slabá formulace

Nechat X být Banachův prostor a ${displaystyle Phi colon X o mathbf {R}}$ být Gateaux rozlišitelné funkční. Funkční ${displaystyle Phi}$ prý uspokojuje slabý stav Palais – Smale pokud pro každou sekvenci ${displaystyle {x_ {n}} podmnožina X}$ takhle

• ${displaystyle sup | Phi (x_ {n}) |$,
• ${displaystyle lim Phi '(x_ {n}) = 0}$ v ${displaystyle X ^ {*}}$,
• ${displaystyle Phi (x_ {n}) eq 0}$ pro všechny ${displaystyle nin mathbf {N}}$,

existuje kritický bod ${displaystyle {overline {x}} v X}$ z ${displaystyle Phi}$ s

${displaystyle liminf Phi (x_ {n}) leq Phi ({overline {x}}) leq limsup Phi (x_ {n}).}$

Reference

• Evans, Lawrence C. (1998). Parciální diferenciální rovnice. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN  0-8218-0772-2.
• Mawhin, Jean; Willem, Michel (2010). „Původ a vývoj stavu Palais-Smale v teorii kritických bodů“. Deník teorie pevných bodů a aplikací. 7 (2): 265–290. doi:10.1007 / s11784-010-0019-7.