Funkce Onsager – Machlup - Onsager–Machlup function - Wikipedia

The Funkce Onsager – Machlup je funkce, která shrnuje dynamiku a kontinuální stochastický proces. Používá se k definování hustoty pravděpodobnosti pro stochastický proces a je obdobou Lagrangian a dynamický systém. Je pojmenován po Lars Onsager a S. Machlup kteří jako první uvažovali o takových hustotách pravděpodobnosti.^[1]

Dynamika kontinuálního stochastického procesu $X$ od času $t = 0$ na $t = T$ v jedné dimenzi, uspokojující a stochastická diferenciální rovnice

{ displaystyle dX_ {t} = b (X_ {t}) , dt + sigma (X_ {t}) , dW_ {t}}

kde $Ž$ je Wienerův proces, lze v přibližné míře popsat funkce hustoty pravděpodobnosti jeho hodnoty $X i$ v konečném počtu bodů v čase $t i$ :

{ displaystyle p (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = left ( prod _ {i = 1} ^ {n-1} { frac {1} { sqrt {2 pi sigma (x_ {i}) ^ {2} Delta t_ {i}}}} doprava) exp left (- sum _ {i = 1} ^ {n-1} L left (x_ {i }, { frac {x_ {i + 1} -x_ {i}} { Delta t_ {i}}} right) , Delta t_ {i} right)}

kde

{ displaystyle L (x, v) = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {v-b (x)} { sigma (x)}} vpravo) ^ {2}}

a $Δ t i = t i +1 - t i > 0$ , $t 1 = 0$ a $t n = T$ . Podobná aproximace je možná u procesů ve vyšších dimenzích. Aproximace je přesnější pro menší velikosti časových kroků $Δ t i$ , ale v limitu $Δ t i \to 0$ funkce hustoty pravděpodobnosti bude špatně definována, jedním z důvodů je, že je to součin pojmů

{ displaystyle { frac {1} { sqrt {2 pi sigma (x_ {i}) ^ {2} Delta t_ {i}}}}}

rozchází se do nekonečna. Aby bylo možné definovat hustotu kontinuálního stochastického procesu $X$ , poměry pravděpodobností $X$ leží v malé vzdálenosti $ε$ z hladký křivky $φ 1$ a $φ 2$ jsou považovány:^[2]

{ displaystyle { frac {P left ( left | X_ {t} - varphi _ {1} (t) right | leq varepsilon { text {for every}} t in [0, T ] right)} {P left ( left | X_ {t} - varphi _ {2} (t) right | leq varepsilon { text {for every}} t in [0, T] right)}} to exp left (- int _ {0} ^ {T} L left ( varphi _ {1} (t), { dot { varphi}} _ {1} ( t) right) , dt + int _ {0} ^ {T} L left ( varphi _ {2} (t), { dot { varphi}} _ {2} (t) right) , dt vpravo)}

tak jako $ε \to 0$ , kde $L$ je Funkce Onsager – Machlup.

Definice

Zvažte a $d$ -dimenzionální Riemannovo potrubí $M$ a a difúzní proces $X = {X t : 0 \leq t \leq T}$ na $M$ s nekonečně malý generátor $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / 2 Δ M + b$ , kde $Δ M$ je Operátor Laplace – Beltrami a $b$ je vektorové pole. Pro dva hladký křivky $φ 1, φ 2 : [0, T] \to M$ ,

{ displaystyle lim _ { varepsilon downarrow 0} { frac {P left ( rho (X_ {t}, varphi _ {1} (t)) leq varepsilon { text {pro každého} } t in [0, T] right)} {P left ( rho (X_ {t}, varphi _ {2} (t)) leq varepsilon { text {for every}} t v [0, T] right)}} = exp left (- int _ {0} ^ {T} L left ( varphi _ {1} (t), { dot { varphi}} _ {1} (t) right) , dt + int _ {0} ^ {T} L left ( varphi _ {2} (t), { dot { varphi}} _ {2} ( t) right) , dt right)}

kde $ρ$ je Riemannova vzdálenost, ${ displaystyle scriptstyle { dot { varphi}} _ {1}, { dot { varphi}} _ {2}}$ označit první deriváty z $φ 1, φ 2$ , a $L$ se nazývá Funkce Onsager – Machlup.

Funkce Onsager – Machlup je dána vztahem^[3]^[4]^[5]

{ displaystyle L (x, v) = { tfrac {1} {2}} | vb (x) | _ {x} ^ {2} + { tfrac {1} {2}} operatorname { div} , b (x) - { tfrac {1} {12}} R (x),}

kde $|| \cdot || X$ je Riemannova norma v tečný prostor $T X (M)$ na $X$ , $div b (X)$ je divergence z $b$ na $X$ , a $R (X)$ je skalární zakřivení na $X$ .

Příklady

Následující příklady poskytují explicitní výrazy pro funkci Onsager – Machlup kontinuálních stochastických procesů.

Wienerův proces na skutečné lince

Funkce Onsager – Machlup a Wienerův proces na skutečná linie $R$ darováno^[6]

{ displaystyle L (x, v) = { tfrac {1} {2}} | v | ^ {2}.}

[Důkaz]

Nechat $X = {X t : 0 \leq t \leq T}$ být procesem Wiener $R$ a nechte $φ : [0, T] \to R$ být dvakrát diferencovatelnou křivkou takovou $φ (0) = X 0$ . Definujte jiný proces $X φ = {X t φ : 0 \leq t \leq T}$ podle $X t φ = X t - φ (t)$ a a opatření $P φ$ podle

{ displaystyle P ^ { varphi} = exp left ( int _ {0} ^ {T} { dot { varphi}} (t) , dX_ {t} ^ { varphi} + int _ {0} ^ {T} { tfrac {1} {2}} left | { dot { varphi}} (t) right | ^ {2} , dt right) , dP.}

Pro každého $ε > 0$ , pravděpodobnost, že $| X t - φ (t)| \leq ε$ pro každého $t \in [0, T]$ splňuje

{ displaystyle { begin {zarovnáno} P left ( left | X_ {t} - varphi (t) right | leq varepsilon { text {for every}} t in [0, T] right) & = P left ( left | X_ {t} ^ { varphi} right | leq varepsilon { text {for every}} t in [0, T] right) & = int _ { left { left | X_ {t} ^ { varphi} right | leq varepsilon { text {for every}} t in [0, T] right }} exp left (- int _ {0} ^ {T} { dot { varphi}} (t) , dX_ {t} ^ { varphi} - int _ {0} ^ {T} { tfrac {1} {2}} | { dot { varphi}} (t) | ^ {2} , dt right) , dP ^ { varphi}. End {zarovnáno}}}

Podle Girsanovova věta, distribuce $X φ$ pod $P φ$ se rovná distribuci $X$ pod $P$ , proto druhý může být nahrazen prvním:

{ displaystyle P (| X_ {t} - varphi (t) | leq varepsilon { text {pro každý}} t v [0, T]) = int _ { left { left | X_ {t} ^ { varphi} doprava | leq varepsilon { text {pro všechny}} t v [0, T] doprava }} exp vlevo (- int _ {0} ^ {T} { dot { varphi}} (t) , dX_ {t} - int _ {0} ^ {T} { tfrac {1} {2}} | { dot { varphi}} (t) | ^ {2} , dt vpravo) , dP.}

Podle Je to lemma to platí

{ displaystyle int _ {0} ^ {T} { dot { varphi}} (t) , dX_ {t} = { dot { varphi}} (T) X_ {T} - int _ {0} ^ {T} { ddot { varphi}} (t) X_ {t} , dt,}

kde ${ displaystyle scriptstyle { ddot { varphi}}}$ je druhý derivát $φ$ , a proto je tento termín pořadový $ε$ na akci kde $| X t | \leq ε$ pro každého $t \in [0, T]$ a zmizí v limitu $ε \to 0$ , proto

{ displaystyle lim _ { varepsilon downarrow 0} { frac {P (| X_ {t} - varphi (t) | leq varepsilon { text {pro všechny}} t v [0, T ])} {P (| X_ {t} | leq varepsilon { text {pro každý}} t v [0, T])}} = exp left (- int _ {0} ^ { T} { tfrac {1} {2}} | { dot { varphi}} (t) | ^ {2} , dt right).}

Difúzní procesy s konstantním difúzním koeficientem v euklidovském prostoru

Funkce Onsager – Machlup v jednorozměrném případě s konstantou koeficient difúze $σ$ darováno^[7]

{ displaystyle L (x, v) = { frac {1} {2}} vlevo | { frac {vb (x)} { sigma}} vpravo | ^ {2} + { frac {1 } {2}} { frac {db} {dx}} (x).}

V $d$ -rozměrný případ, s $σ$ roven jednotkové matici, je dán vztahem^[8]

{ displaystyle L (x, v) = { frac {1} {2}} | vb (x) | ^ {2} + { frac {1} {2}} ( operatorname {div} , b) (x),}

kde $|| \cdot ||$ je Euklidovská norma a

{ displaystyle ( operatorname {div} , b) (x) = součet _ {i = 1} ^ {d} { frac { částečný} { částečný x_ {i}}} b_ {i} ( X).}

Zobecnění

Zobecnění bylo dosaženo oslabením podmínky diferencovatelnosti na křivce $φ$ .^[9] Spíše než měřit maximální vzdálenost mezi stochastickým procesem a křivkou v časovém intervalu, byly zvažovány jiné podmínky, jako jsou vzdálenosti založené na zcela konvexních normách^[10] a normy typu Hölder, Besov a Sobolev.^[11]

Aplikace

Funkci Onsager – Machlup lze použít pro účely vážení a vzorkování trajektorie,^[12]stejně jako pro určení nejpravděpodobnější trajektorie difúzního procesu.^[13]^[14]

Viz také

Reference

^ Onsager, L. a Machlup, S. (1953)
^ Stratonovich, R. (1971)
^ Takahashi, Y. a Watanabe, S. (1980)
^ Fujita, T. a Kotani, S. (1982)
^ Wittich, Olaf
^ Ikeda, N. a Watanabe, S. (1980), kapitola VI, oddíl 9
^ Dürr, D. a Bach, A. (1978)
^ Ikeda, N. a Watanabe, S. (1980), kapitola VI, oddíl 9
^ Zeitouni, O. (1989)
^ Shepp, L. a Zeitouni, O. (1993)
^ Capitaine, M. (1995)
^ Adib, A.B. (2008).
^ Adib, A.B. (2008).
^ Dürr, D. a Bach, A. (1978).

Bibliografie

Adib, A.B. (2008). "Stochastické akce pro difuzní dynamiku: váha, vzorkování a minimalizace". J. Phys. Chem. B. 112 (19): 5910–5916. arXiv:0712.1255. doi:10.1021 / jp0751458. PMID 17999482.
Capitaine, M. (1995). "Onsager – Machlup funkční pro některé plynulé normy pro Wienerův prostor". Probab. Theory Relat. Pole. 102 (2): 189–201. doi:10.1007 / bf01213388.
Dürr, D. & Bach, A. (1978). "Onsager – Machlup funguje jako Lagrangian pro nejpravděpodobnější cestu procesu difúze". Commun. Matematika. Phys. 60 (2): 153–170. Bibcode:1978CMaPh..60..153D. doi:10.1007 / bf01609446.
Fujita, T. & Kotani, S. (1982). „Funkce Onsager – Machlup pro difúzní procesy“. J. Math. Kjótské Univ. 22: 115–130. doi:10.1215 / kjm / 1250521863.
Ikeda, N. a Watanabe, S. (1980). Stochastické diferenciální rovnice a difúzní procesy. Kodansha-John Wiley.
Onsager, L. & Machlup, S. (1953). "Výkyvy a nevratné procesy". Fyzický přehled. 91 (6): 1505–1512. Bibcode:1953PhRv ... 91,1505O. doi:10.1103 / fyzrev.91.1505.
Shepp, L. & Zeitouni, O. (1993). Exponenciální odhady pro konvexní normy a některé aplikace. Pokrok v pravděpodobnosti. 32. Berlín: Birkhauser-Verlag. 203–215. CiteSeerX 10.1.1.28.8641. doi:10.1007/978-3-0348-8555-3_11. ISBN 978-3-0348-9677-1.
Stratonovich, R. (1971). "O pravděpodobnosti funkčnosti difúzních procesů". Vybrat. Transl. V matematice. Stat. Prob. 10: 273–286.
Takahashi, Y. & Watanabe, S. (1980). "Pravděpodobnostní funkcionály (funkce Onsager - Machlup) difúzních procesů". Přednášky z matematiky. Springer. 851: 432–463.
Wittich, Olaf. "Funkce Onsager – Machlup znovu navštívena". Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
Zeitouni, O. (1989). „Na Onsager – Machlup funkční difúzní procesy kolem non $C 2$ křivky ". Annals of Probability. 17 (3): 1037–1054. doi:10.1214 / aop / 1176991255.

externí odkazy

Funkce Onsager – Machlup. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Onsager-Machlup_function&oldid=22857

[1] Onsager, L. a Machlup, S. (1953)

[2] Stratonovich, R. (1971)

[3] Takahashi, Y. a Watanabe, S. (1980)

[4] Fujita, T. a Kotani, S. (1982)

[5] Wittich, Olaf

[6] Ikeda, N. a Watanabe, S. (1980), kapitola VI, oddíl 9

[7] Dürr, D. a Bach, A. (1978)

[8] Ikeda, N. a Watanabe, S. (1980), kapitola VI, oddíl 9

[9] Zeitouni, O. (1989)

[10] Shepp, L. a Zeitouni, O. (1993)

[11] Capitaine, M. (1995)

[12] Adib, A.B. (2008).

[13] Adib, A.B. (2008).

[14] Dürr, D. a Bach, A. (1978).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]