Funkce Onsager – Machlup - Onsager–Machlup function - Wikipedia
The Funkce Onsager – Machlup je funkce, která shrnuje dynamiku a kontinuální stochastický proces. Používá se k definování hustoty pravděpodobnosti pro stochastický proces a je obdobou Lagrangian a dynamický systém. Je pojmenován po Lars Onsager a S. Machlup kteří jako první uvažovali o takových hustotách pravděpodobnosti.[1]
Dynamika kontinuálního stochastického procesu X od času t = 0 na t = T v jedné dimenzi, uspokojující a stochastická diferenciální rovnice
kde Ž je Wienerův proces, lze v přibližné míře popsat funkce hustoty pravděpodobnosti jeho hodnoty Xi v konečném počtu bodů v čase ti:
kde
a Δti = ti+1 − ti > 0, t1 = 0 a tn = T. Podobná aproximace je možná u procesů ve vyšších dimenzích. Aproximace je přesnější pro menší velikosti časových kroků Δti, ale v limitu Δti → 0 funkce hustoty pravděpodobnosti bude špatně definována, jedním z důvodů je, že je to součin pojmů
rozchází se do nekonečna. Aby bylo možné definovat hustotu kontinuálního stochastického procesu X, poměry pravděpodobností X leží v malé vzdálenosti ε z hladký křivky φ1 a φ2 jsou považovány:[2]
tak jako ε → 0, kde L je Funkce Onsager – Machlup.
Definice
Zvažte a d-dimenzionální Riemannovo potrubí M a a difúzní proces X = {Xt : 0 ≤ t ≤ T} na M s nekonečně malý generátor 1/2ΔM + b, kde ΔM je Operátor Laplace – Beltrami a b je vektorové pole. Pro dva hladký křivky φ1, φ2 : [0, T] → M,
kde ρ je Riemannova vzdálenost, označit první deriváty z φ1, φ2, a L se nazývá Funkce Onsager – Machlup.
Funkce Onsager – Machlup je dána vztahem[3][4][5]
kde || ⋅ ||X je Riemannova norma v tečný prostor TX(M) na X, div b(X) je divergence z b na X, a R(X) je skalární zakřivení na X.
Příklady
Následující příklady poskytují explicitní výrazy pro funkci Onsager – Machlup kontinuálních stochastických procesů.
Wienerův proces na skutečné lince
Funkce Onsager – Machlup a Wienerův proces na skutečná linie R darováno[6]
Nechat X = {Xt : 0 ≤ t ≤ T} být procesem Wiener R a nechte φ : [0, T] → R být dvakrát diferencovatelnou křivkou takovou φ(0) = X0. Definujte jiný proces Xφ = {Xtφ : 0 ≤ t ≤ T} podle Xtφ = Xt − φ(t) a a opatření Pφ podle
Pro každého ε > 0, pravděpodobnost, že |Xt − φ(t)| ≤ ε pro každého t ∈ [0, T] splňuje
Podle Girsanovova věta, distribuce Xφ pod Pφ se rovná distribuci X pod P, proto druhý může být nahrazen prvním:
Podle Je to lemma to platí
kde je druhý derivát φ, a proto je tento termín pořadový ε na akci kde |Xt| ≤ ε pro každého t ∈ [0, T] a zmizí v limitu ε → 0, proto
Difúzní procesy s konstantním difúzním koeficientem v euklidovském prostoru
Funkce Onsager – Machlup v jednorozměrném případě s konstantou koeficient difúze σ darováno[7]
V d-rozměrný případ, s σ roven jednotkové matici, je dán vztahem[8]
kde || ⋅ || je Euklidovská norma a
Zobecnění
Zobecnění bylo dosaženo oslabením podmínky diferencovatelnosti na křivce φ.[9] Spíše než měřit maximální vzdálenost mezi stochastickým procesem a křivkou v časovém intervalu, byly zvažovány jiné podmínky, jako jsou vzdálenosti založené na zcela konvexních normách[10] a normy typu Hölder, Besov a Sobolev.[11]
Aplikace
Funkci Onsager – Machlup lze použít pro účely vážení a vzorkování trajektorie,[12]stejně jako pro určení nejpravděpodobnější trajektorie difúzního procesu.[13][14]
Viz také
Reference
- ^ Onsager, L. a Machlup, S. (1953)
- ^ Stratonovich, R. (1971)
- ^ Takahashi, Y. a Watanabe, S. (1980)
- ^ Fujita, T. a Kotani, S. (1982)
- ^ Wittich, Olaf
- ^ Ikeda, N. a Watanabe, S. (1980), kapitola VI, oddíl 9
- ^ Dürr, D. a Bach, A. (1978)
- ^ Ikeda, N. a Watanabe, S. (1980), kapitola VI, oddíl 9
- ^ Zeitouni, O. (1989)
- ^ Shepp, L. a Zeitouni, O. (1993)
- ^ Capitaine, M. (1995)
- ^ Adib, A.B. (2008).
- ^ Adib, A.B. (2008).
- ^ Dürr, D. a Bach, A. (1978).
Bibliografie
- Adib, A.B. (2008). "Stochastické akce pro difuzní dynamiku: váha, vzorkování a minimalizace". J. Phys. Chem. B. 112 (19): 5910–5916. arXiv:0712.1255. doi:10.1021 / jp0751458. PMID 17999482.
- Capitaine, M. (1995). "Onsager – Machlup funkční pro některé plynulé normy pro Wienerův prostor". Probab. Theory Relat. Pole. 102 (2): 189–201. doi:10.1007 / bf01213388.
- Dürr, D. & Bach, A. (1978). "Onsager – Machlup funguje jako Lagrangian pro nejpravděpodobnější cestu procesu difúze". Commun. Matematika. Phys. 60 (2): 153–170. Bibcode:1978CMaPh..60..153D. doi:10.1007 / bf01609446.
- Fujita, T. & Kotani, S. (1982). „Funkce Onsager – Machlup pro difúzní procesy“. J. Math. Kjótské Univ. 22: 115–130. doi:10.1215 / kjm / 1250521863.
- Ikeda, N. a Watanabe, S. (1980). Stochastické diferenciální rovnice a difúzní procesy. Kodansha-John Wiley.
- Onsager, L. & Machlup, S. (1953). "Výkyvy a nevratné procesy". Fyzický přehled. 91 (6): 1505–1512. Bibcode:1953PhRv ... 91,1505O. doi:10.1103 / fyzrev.91.1505.
- Shepp, L. & Zeitouni, O. (1993). Exponenciální odhady pro konvexní normy a některé aplikace. Pokrok v pravděpodobnosti. 32. Berlín: Birkhauser-Verlag. 203–215. CiteSeerX 10.1.1.28.8641. doi:10.1007/978-3-0348-8555-3_11. ISBN 978-3-0348-9677-1.
- Stratonovich, R. (1971). "O pravděpodobnosti funkčnosti difúzních procesů". Vybrat. Transl. V matematice. Stat. Prob. 10: 273–286.
- Takahashi, Y. & Watanabe, S. (1980). "Pravděpodobnostní funkcionály (funkce Onsager - Machlup) difúzních procesů". Přednášky z matematiky. Springer. 851: 432–463.
- Wittich, Olaf. "Funkce Onsager – Machlup znovu navštívena". Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - Zeitouni, O. (1989). „Na Onsager – Machlup funkční difúzní procesy kolem non C2 křivky ". Annals of Probability. 17 (3): 1037–1054. doi:10.1214 / aop / 1176991255.
externí odkazy
- Funkce Onsager – Machlup. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Onsager-Machlup_function&oldid=22857