Nahmovy rovnice - Nahm equations

v diferenciální geometrie a teorie měřidel, Nahmovy rovnice jsou systémem obyčejné diferenciální rovnice představil Werner Nahm v kontextu Nahmova transformace - alternativa k Ward je twistor konstrukce monopoly. Nahmovy rovnice jsou formálně analogické s algebraickými rovnicemi v Konstrukce ADHM z okamžiky, kde jsou matice konečných objednávek nahrazeny diferenciálními operátory.

Hluboké studium Nahmových rovnic bylo provedeno Nigel Hitchin a Simon Donaldson. Koncepčně vznikají rovnice v procesu nekonečně dimenzionálního hyperkählerova redukce. Z mnoha jejich aplikací můžeme zmínit: Hitchinovu konstrukci monopolů, kde je tento přístup zásadní pro stanovení nesonsularity monopolních řešení; Donaldsonův popis moduli prostor monopolů; a existence hyperkählerova struktura na společné oběžné dráhy komplexu napůl jednoduché Lie skupiny, prokázáno Peter Kronheimer, Olivier Biquard a A.G. Kovalev.

Rovnice

Nechat T₁(z),T₂(z), T₃(z) být tři matomatické funkce komplexní proměnné z. Nahmovy rovnice jsou soustavou maticových diferenciálních rovnic

${displaystyle {egin {aligned} {frac {dT_ {1}} {dz}} & = [T_ {2}, T_ {3}] [3pt] {frac {dT_ {2}} {dz}} & = [T_ {3}, T_ {1}] [3pt] {frac {dT_ {3}} {dz}} & = [T_ {1}, T_ {2}], konec {zarovnáno}}}$

společně s určitými vlastnostmi analytiky, podmínkami reality a okrajovými podmínkami. Tři rovnice lze stručně napsat pomocí Symbol Levi-Civita, ve formě

${displaystyle {frac {dT_ {i}} {dz}} = {frac {1} {2}} součet _ {j, k} epsilon _ {ijk} [T_ {j}, T_ {k}] = součet _ {j, k} epsilon _ {ijk} T_ {j} T_ {k}.}$

Obecněji, místo uvažování N podle N matice, lze uvažovat Nahmovy rovnice s hodnotami v Lieově algebře G.

Dodatečné podmínky

Proměnná z je omezen na otevřený interval (0,2) a jsou stanoveny následující podmínky:

1. ${displaystyle T_ {i} ^ {*} = - T_ {i};}$
2. ${displaystyle T_ {i} (2-z) = T_ {i} (z) ^ {T} ;,}$
3. T_i lze pokračovat v meromorfní funkci z v sousedství uzavřeného intervalu [0,2], analytický mimo 0 a 2, a s jednoduchými póly v z = 0 a z = 2; a
4. Na pólech jsou zbytky (T₁,T₂, T₃) tvoří neredukovatelné zastoupení skupiny SU (2).

Nahm – Hitchinův popis monopolů

Mezi nimi je přirozená rovnocennost

1. monopoly poplatku k pro skupinu SU (2) transformace měřidla modulo a
2. řešení Nahmových rovnic splňujících další podmínky výše, modulovat simultánní konjugaci T₁,T₂, T₃ skupinou O (k,R).

Reprezentace laxu

Nahmovy rovnice lze zapsat do Laxní forma jak následuje. Soubor

${displaystyle {egin {aligned} & A_ {0} = T_ {1} + iT_ {2}, quad A_ {1} = - 2iT_ {3}, quad A_ {2} = T_ {1} -iT_ {2} [3pt] & A (zeta) = A_ {0} + zeta A_ {1} + zeta ^ {2} A_ {2}, čtyřkolka B (zeta) = {frac {1} {2}} {frac {dA} { dzeta}} = {frac {1} {2}} A_ {1} + zeta A_ {2}, konec {zarovnáno}}}$

pak je systém Nahmových rovnic ekvivalentní Laxově rovnici

${displaystyle {frac {dA} {dz}} = [A, B].}$

Jako okamžitý důsledek získáme spektrum matice A nezávisí na z. Proto charakteristická rovnice

${displaystyle det (lambda I + A (zeta, z)) = 0,}$

který určuje tzv spektrální křivka v twistorový prostor TP¹, je invariantní pod proudem dovnitř z.

Viz také

• Bogomolnyho rovnice
• Yang – Mills – Higgsovy rovnice

Reference

• Nahm, W. (1981). „Všechny duální multimonopoly pro libovolné skupiny měřidel“. CERN, předtisk TH. 3172.
• Hitchin, Nigeli (1983). „O konstrukci monopolů“. Komunikace v matematické fyzice. 89 (2): 145–190. Bibcode:1983CMaPh..89..145H. doi:10.1007 / BF01211826.
• Donaldson, Simon (1984). "Nahmovy rovnice a klasifikace monopolů". Komunikace v matematické fyzice. 96 (3): 387–407. Bibcode:1984CMaPh..96..387D. doi:10.1007 / BF01214583.
• Atiyah, Michael; Hitchin, N.J. (1988). Geometrie a dynamika magnetických monopolů. Přednášky M. B. Portera. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN  0-691-08480-7.
• Kovalev, A. G. (1996). „Nahmovy rovnice a složité obousměrné dráhy“. Kvart. J. Math. Oxford. 47 (185): 41–58. doi:10.1093 / qmath / 47.1.41.
• Biquard, Olivier (1996). „Sur les équations de Nahm et la structure de Poisson des algèbres de Lie semi-simples complexes“ [Nahmovy rovnice a Poissonova struktura komplexních polojediných Lieových algeber]. Matematika. Ann. 304 (2): 253–276. doi:10.1007 / BF01446293.

externí odkazy

• Ostrovní projekt - wiki o Nahmových rovnicích a souvisejících tématech