Modulové schéma - Moduli scheme - Wikipedia

v matematika, a schéma modulu je moduli prostor který existuje v kategorie režimů vyvinutý uživatelem Alexander Grothendieck. Některé důležité problémy modulů z algebraická geometrie lze uspokojivě vyřešit pomocí teorie schémat samostatně, zatímco jiné vyžadují určité rozšíření konceptu „geometrického objektu“ (algebraické prostory, algebraické komíny z Michael Artin ).

Dějiny

Práce Grothendiecka a David Mumford (vidět geometrická invariantní teorie ) otevřel tuto oblast na počátku 60. let. Algebraičtější a abstraktnější přístup k problémům modulů je nastavit je jako reprezentativní funktor potom použijte kritérium, které vyjmenuje reprezentanta funktory pro schémata. Když tento programový přístup funguje, výsledkem je a schéma jemných modulů. Pod vlivem více geometrických myšlenek stačí najít schéma, které dává správné geometrické body. To se spíše podobá klasické myšlence, že problémem modulů je vyjádřit algebraickou strukturu přirozeně přicházející se sadou (řekněme tříd izomorfismu eliptické křivky ).

Výsledkem je a schéma hrubých modulů. Jeho nedostatkem zdokonalení je, zhruba řečeno, to, že nezaručuje rodinám objektů to, co je vlastní schématu jemných modulů. Jak zdůraznil Mumford ve své knize Teorie geometrických proměnných, možná budete chtít mít skvělou verzi, ale je tu technický problém (struktura úrovně a další „značky“), které je třeba řešit, aby bylo možné získat otázku s možností takové odpovědi.

Teruhisa Matsusaka prokázal výsledek, nyní známý jako Matsusakova velká věta, kterým se stanoví nezbytná podmínka pro a problém moduli pro existenci schématu hrubých modulů.[1]

Příklady

Mumford dokázal, že pokud G > 1, existuje schéma hrubých modulů hladkých křivek rodu G, který je kvazi-projektivní.[2] Podle nedávného průzkumu János Kollár „má bohatou a zajímavou vnitřní geometrii, která souvisí s hlavními otázkami v mnoha oborech matematiky a teoretické fyziky.“[3] Braungardt si položil otázku, zda Belyiova věta lze zobecnit na odrůdy vyšší dimenze nad pole algebraických čísel, s formulací, že jsou obecně birační až konečné pokrývající étale modulového prostoru křivek.[4]

Použití pojmu stabilní vektorový svazek, schémata hrubých modulů pro vektorové svazky na jakémkoli hladkém komplexní odrůda Bylo prokázáno, že existují a jsou kvazi-projektivní: prohlášení používá koncept semistabilita.[5] Je možné identifikovat prostor hrubých modulů speciálu balíčky instanton, v matematické fyzice, v některých případech s objekty v klasické geometrii kuželoseček.[6]

Reference

  • "Teorie modulů", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

Poznámky

  1. ^ S. J. Kovacs, Průvodce mladého člověka k modulům vyšších dimenzionálních odrůd (PDF) ve společnosti p. 13
  2. ^ Hauser, Herwig; Lipman, Joseph; Oort, Frans; Quirós, Adolfo (06.12.2012). Řešení singularit: Učebnice výzkumu na počest Oscara Zariskiho Na základě kurzů pořádaných během pracovního týdne v rakouském Obergurglu, 7. – 14. Září 1997. Birkhäuser. str. 83. ISBN  9783034883993. Citováno 22. srpna 2017.
  3. ^ Moduly povrchů, koncept (PDF) ve společnosti p. 11
  4. ^ Wushi Goldring, Sjednocující motivy navržené Belyiho větou (PDF) ve společnosti p. 22
  5. ^ Bloch, Spencer (1987). Algebraická geometrie: Bowdoin 1985. American Mathematical Soc. str. 103. ISBN  9780821814802. Citováno 22. srpna 2017.
  6. ^ Greuel, Gert-Martin; Trautmann, Günther (15. 11. 2006). Singularity, zastoupení algeber a vektorové svazky: Sborník ze sympozia konaného v Lambrecht / Pfalz, Fed. Rep. Německa, 13. - 17. prosince 1985. Springer. str. 336. ISBN  9783540478515. Citováno 22. srpna 2017.