Rovnoměrně Cauchyova posloupnost - Uniformly Cauchy sequence

v matematika, a sekvence z funkce ${displaystyle {f_ {n}}}$ ze sady S do metrického prostoru M se říká, že je rovnoměrně Cauchy li:

• Pro všechny ${displaystyle varepsilon> 0}$, tady existuje ${displaystyle N> 0}$ takové, že pro všechny ${displaystyle xin S}$: ${displaystyle d (f_ {n} (x), f_ {m} (x))$ kdykoli ${displaystyle m, n> N}$.

Další způsob, jak to říct, je ten ${displaystyle d_ {u} (f_ {n}, f_ {m}) o 0}$ tak jako ${displaystyle m, n o infty}$, kde je jednotná vzdálenost ${displaystyle d_ {u}}$ mezi dvěma funkcemi je definována

${displaystyle d_ {u} (f, g): = sup _ {xin S} d (f (x), g (x)).}$

Konvergenční kritéria

Posloupnost funkcí {F_n} z S na M je bodově Cauchy, pokud pro každého X ∈ S, sekvence {F_n(X)} je Cauchyova posloupnost v M. Toto je slabší podmínka než být jednotně Cauchy.

Obecně může být posloupnost bodově Cauchy a ne bodově konvergentní, nebo může být jednotně Cauchy a ne rovnoměrně konvergentní. Nicméně, pokud je metrický prostor M je kompletní, pak libovolná bodově Cauchyova sekvence konverguje bodově k funkci z S na M. Podobně bude mít tendenci každá rovnoměrně Cauchyova sekvence jednotně k takové funkci.

Jednotná vlastnost Cauchy se často používá, když S není jen sada, ale topologický prostor, a M je úplný metrický prostor. Následující věta platí:

• Nechat S být topologickým prostorem a M kompletní metrický prostor. Pak libovolná rovnoměrně Cauchyova posloupnost spojité funkce F_n : S → M inklinuje jednotně k jedinečné spojité funkci F : S → M.

Zobecnění na jednotné prostory

A sekvence z funkce ${displaystyle {f_ {n}}}$ ze sady S do metrického prostoru U se říká, že je rovnoměrně Cauchy li:

• Pro všechny ${displaystyle xin S}$ a pro všechny doprovod ${displaystyle varepsilon}$, tady existuje ${displaystyle N> 0}$ takhle ${displaystyle d (f_ {n} (x), f_ {m} (x))$ kdykoli ${displaystyle m, n> N}$.

Viz také

• Režimy konvergence (anotovaný index)

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.