Gaussova izoperimetrická nerovnost - Gaussian isoperimetric inequality - Wikipedia

V matematice je Gaussova izoperimetrická nerovnost, prokázáno Boris Tsirelson a Vladimir Sudakov,^[1] a později nezávisle na Christer Borell,^[2] uvádí, že mezi všemi sadami daných Gaussova míra v n-dimenzionální Euklidovský prostor, poloprostory mít minimální Gaussian hraniční opatření.

Matematická formulace

Nechat ${ displaystyle scriptstyle A}$ být měřitelný podmnožina ${ displaystyle scriptstyle mathbf {R} ^ {n}}$ obdařen standardní Gaussovou mírou ${ displaystyle gamma ^ {n}}$ s hustotou ${ displaystyle { exp (- | x | ^ {2} / 2)} / (2 pi) ^ {n / 2}}$. Označit podle

${ displaystyle A _ { varepsilon} = left {x in mathbf {R} ^ {n} , | , { text {dist}} (x, A) leq varepsilon right } }$

ε-prodloužení A. Pak Gaussova izoperimetrická nerovnost tvrdí, že

${ displaystyle liminf _ { varepsilon až +0} varepsilon ^ {- 1} vlevo { gamma ^ {n} (A _ { varepsilon}) - gamma ^ {n} (A) vpravo } geq varphi ( Phi ^ {- 1} ( gamma ^ {n} (A))),}$

kde

${ displaystyle varphi (t) = { frac { exp (-t ^ {2} / 2)} { sqrt {2 pi}}} quad { rm {and}} quad Phi ( t) = int _ {- infty} ^ {t} varphi (s) , ds.}$

Důkazy a zobecnění

Původní důkazy Sudakova, Tsirelsona a Borella byly založeny na Paul Lévy je sférická izoperimetrická nerovnost.

Sergej Bobkov prokázal funkční zobecnění Gaussovy izoperimetrické nerovnosti z určité „dvoubodové analytické nerovnosti“.^[3] Bakry a Ledoux poskytli další důkaz funkční nerovnosti Bobkova na základě poloskupina techniky, které fungují v mnohem abstraktnějším prostředí.^[4] Později Barthe a Maurey poskytli další důkaz pomocí Brownův pohyb.^[5]

Gaussova izoperimetrická nerovnost rovněž vyplývá z Ehrhardova nerovnost.^[6][7]

Viz také

• Koncentrace opatření
• Nerovnost Borell – TIS

Reference