Mason-Weaverova rovnice - Mason–Weaver equation - Wikipedia

The Mason-Weaverova rovnice (pojmenoval podle Max Mason a Warren Weaver ) popisuje sedimentace a difúze rozpuštěných látek pod uniformou platnost, obvykle a gravitační pole.^[1] Za předpokladu, že gravitační pole je zarovnáno v z směru (obr. 1), lze napsat rovnici Mason-Weaver

${ displaystyle { frac { částečné c} { částečné t}} = D { frac { částečné ^ {2} c} { částečné z ^ {2}}} + sg { frac { částečné c } { částečné z}}}$

kde t je čas, C je rozpuštěná látka koncentrace (moly na jednotku délky v z-direction) a parametry D, s, a G představují rozpuštěná látka difúzní konstanta, sedimentační koeficient a (předpokládaná konstanta) akcelerace z gravitace, resp.

Mason-Weaverova rovnice je doplněna okrajové podmínky

${ displaystyle D { frac { částečné c} { částečné z}} + sgc = 0}$

v horní a dolní části buňky, označené jako ${ displaystyle z_ {a}}$ a ${ displaystyle z_ {b}}$(obr. 1). Tyto okrajové podmínky odpovídají fyzickému požadavku, že č rozpuštěná látka projít horní a dolní částí buňky, tj. že tok tam bude nula. Buňka se považuje za obdélníkovou a zarovnanou s Kartézské osy (Obr. 1), takže síť tok skrz boční stěny je rovněž nulová. Proto je celková částka rozpuštěná látka v cele

${ displaystyle N _ { text {tot}} = int _ {z_ {b}} ^ {z_ {a}} , dz c (z, t)}$

je konzervovaný, tj. ${ displaystyle dN _ { text {tot}} / dt = 0}$.

Odvození rovnice Mason-Weaver

Obrázek 1: Schéma buňky Mason – Weaver a sil na Solute

Typická částice Hmotnost m pohybující se svisle rychlost proti jedná se o tři síly (Obr. 1): tažná síla ${ displaystyle fv}$, síla gravitace ${ displaystyle mg}$ a vztlaková síla ${ displaystyle rho Vg}$, kde G je akcelerace z gravitace, PROTI je rozpuštěná látka objem částic a ${ displaystyle rho}$ je solventní hustota. Na rovnováha (obvykle dosahováno zhruba za 10 ns pro molekulární rozpuštěné látky ), částice dosáhne a konečná rychlost ${ displaystyle v _ { text {term}}}$ kde tři síly jsou vyvážené. Od té doby PROTI rovná se částice Hmotnost m krát jeho částečný specifický objem ${ displaystyle { bar { nu}}}$, rovnováha podmínka může být zapsána jako

${ displaystyle fv _ { text {term}} = m (1 - { bar { nu}} rho) g { stackrel { mathrm {def}} {=}} m_ {b} g}$

kde ${ displaystyle m_ {b}}$ je vznášející se hmota.

Definujeme Mason – Weaver sedimentační koeficient ${ displaystyle s { stackrel { mathrm {def}} {=}} m_ {b} / f = v _ { text {term}} / g}$. Protože součinitel odporu vzduchu F souvisí s difúzní konstanta D podle Einsteinův vztah

${ displaystyle D = { frac {k_ {B} T} {f}}}$,

poměr s a D rovná se

${ displaystyle { frac {s} {D}} = { frac {m_ {b}} {k_ {B} T}}}$

kde ${ displaystyle k_ {B}}$ je Boltzmannova konstanta a T je teplota v kelvinů.

The tok J kdykoli je dáno

${ displaystyle J = -D { frac { parciální c} { parciální z}} - v _ { text {termín}} c = -D { frac { parciální c} { parciální z}} - sgc .}$

První termín popisuje tok kvůli difúze dolů a koncentrace gradient, zatímco druhý člen popisuje konvekční tok kvůli průměrné rychlosti ${ displaystyle v _ { text {term}}}$ částic. Pozitivní síť tok z malého objemu produkuje negativní změnu v místním koncentrace v tomto objemu

${ displaystyle { frac { částečné c} { částečné t}} = - { frac { částečné J} { částečné z}}.}$

Nahrazení rovnice pro tok J produkuje Mason-Weaver rovnici

${ displaystyle { frac { částečné c} { částečné t}} = D { frac { částečné ^ {2} c} { částečné z ^ {2}}} + sg { frac { částečné c } { částečné z}}.}$

Bezrozměrná rovnice Mason-Weaver

Parametry D, s a G určit délkovou stupnici ${ displaystyle z_ {0}}$

${ displaystyle z_ {0} { stackrel { mathrm {def}} {=}} { frac {D} {sg}}}$

a časové měřítko ${ displaystyle t_ {0}}$

${ displaystyle t_ {0} { stackrel { mathrm {def}} {=}} { frac {D} {s ^ {2} g ^ {2}}}}$

Definování bezrozměrný proměnné ${ displaystyle zeta { stackrel { mathrm {def}} {=}} z / z_ {0}}$ a ${ displaystyle tau { stackrel { mathrm {def}} {=}} t / t_ {0}}$se stává Mason-Weaverova rovnice

${ displaystyle { frac { částečné c} { částečné tau}} = { frac { částečné ^ {2} c} { částečné zeta ^ {2}}} + { frac { částečné c } { částečná zeta}}}$

podléhá okrajové podmínky

${ displaystyle { frac { částečné c} { částečné zeta}} + c = 0}$

v horní a dolní části buňky, ${ displaystyle zeta _ {a}}$ a ${ displaystyle zeta _ {b}}$, resp.

Řešení Mason-Weaverovy rovnice

Tuto parciální diferenciální rovnici lze vyřešit oddělení proměnných. Definování ${ displaystyle c ( zeta, tau) { stackrel { mathrm {def}} {=}} e ^ {- zeta / 2} T ( tau) P ( zeta)}$, získáme dvě obyčejné diferenciální rovnice spojené konstantou ${ displaystyle beta}$

${ displaystyle { frac {dT} {d tau}} + beta T = 0}$

${ displaystyle { frac {d ^ {2} P} {d zeta ^ {2}}} + left [ beta - { frac {1} {4}} right] P = 0}$

kde jsou přijatelné hodnoty ${ displaystyle beta}$ jsou definovány okrajové podmínky

${ displaystyle { frac {dP} {d zeta}} + { frac {1} {2}} P = 0}$

na horní a dolní hranici, ${ displaystyle zeta _ {a}}$ a ${ displaystyle zeta _ {b}}$, resp. Protože T rovnice má řešení ${ displaystyle T ( tau) = T_ {0} e ^ {- beta tau}}$, kde ${ displaystyle T_ {0}}$ je konstanta, rovnice Mason-Weaver se redukuje na řešení funkce ${ displaystyle P ( zeta)}$.

The obyčejná diferenciální rovnice pro P a jeho okrajové podmínky splňují kritéria pro Sturm – Liouvilleův problém, z čehož vyplývá několik závěrů. za prvé, existuje samostatná sada ortonormální vlastní funkce ${ displaystyle P_ {k} ( zeta)}$ které uspokojí obyčejná diferenciální rovnice a okrajové podmínky. Druhý, korespondence vlastní čísla ${ displaystyle beta _ {k}}$ jsou skutečné, ohraničené níže nejnižší vlastní číslo ${ displaystyle beta _ {0}}$ a růst asymptoticky ${ displaystyle k ^ {2}}$ kde nezáporné celé číslo k je hodnost vlastní číslo. (V našem případě je nejnižší vlastní hodnota nula, což odpovídá rovnovážnému řešení.) Třetí, vlastní funkce tvoří kompletní sadu; jakékoli řešení pro ${ displaystyle c ( zeta, tau)}$ lze vyjádřit jako vážený součet vlastní funkce

${ displaystyle c ( zeta, tau) = součet _ {k = 0} ^ { infty} c_ {k} P_ {k} ( zeta) e ^ {- beta _ {k} tau} }$

kde ${ displaystyle c_ {k}}$ jsou konstantní koeficienty určené z počátečního rozdělení ${ displaystyle c ( zeta, tau = 0)}$

${ displaystyle c_ {k} = int _ { zeta _ {a}} ^ { zeta _ {b}} d zeta c ( zeta, tau = 0) e ^ { zeta / 2} P_ {k} ( zeta)}$

V rovnováze, ${ displaystyle beta = 0}$ (podle definice) a distribuce rovnovážné koncentrace je

${ displaystyle e ^ {- zeta / 2} P_ {0} ( zeta) = Be ^ {- zeta} = Be ^ {- m_ {b} gz / k_ {B} T}}$

který souhlasí s Boltzmannova distribuce. The ${ displaystyle P_ {0} ( zeta)}$ funkce splňuje obyčejná diferenciální rovnice a okrajové podmínky při všech hodnotách ${ displaystyle zeta}$ (jak může být ověřeno substitucí) a konstanta B lze určit z celkové částky rozpuštěná látka

${ displaystyle B = N _ { text {tot}} left ({ frac {sg} {D}} right) left ({ frac {1} {e ^ {- zeta _ {b}} -e ^ {- zeta _ {a}}}} vpravo)}$

Chcete-li najít nerovnovážné hodnoty vlastní čísla ${ displaystyle beta _ {k}}$postupujeme následovně. Rovnice P má formu jednoduché harmonický oscilátor s řešeními ${ displaystyle P ( zeta) = e ^ {i omega _ {k} zeta}}$ kde

${ displaystyle omega _ {k} = pm { sqrt { beta _ {k} - { frac {1} {4}}}}}$

V závislosti na hodnotě ${ displaystyle beta _ {k}}$, ${ displaystyle omega _ {k}}$ je buď čistě skutečný (${ displaystyle beta _ {k} geq { frac {1} {4}}}$) nebo čistě imaginární (${ displaystyle beta _ {k} <{ frac {1} {4}}}$). Pouze jedno čistě imaginární řešení může uspokojit okrajové podmínky, totiž rovnovážné řešení. Proto nerovnováha vlastní funkce lze psát jako

${ displaystyle P ( zeta) = A cos { omega _ {k} zeta} + B sin { omega _ {k} zeta}}$

kde A a B jsou konstanty a ${ displaystyle omega}$ je skutečný a přísně pozitivní.

Zavedením oscilátoru amplituda ${ displaystyle rho}$ a fáze ${ displaystyle varphi}$ jako nové proměnné,

${ displaystyle u { stackrel { mathrm {def}} {=}} rho sin ( varphi) { stackrel { mathrm {def}} {=}} P}$

${ displaystyle v { stackrel { mathrm {def}} {=}} rho cos ( varphi) { stackrel { mathrm {def}} {=}} - { frac {1 } { omega}} vlevo ({ frac {dP} {d zeta}} vpravo)}$

${ displaystyle rho { stackrel { mathrm {def}} {=}} u ^ {2} + v ^ {2}}$

${ displaystyle tan ( varphi) { stackrel { mathrm {def}} {=}} v / u}$

rovnice druhého řádu pro P se započítává do dvou jednoduchých rovnic prvního řádu

${ displaystyle { frac {d rho} {d zeta}} = 0}$

${ displaystyle { frac {d varphi} {d zeta}} = omega}$

Pozoruhodné je, že transformované okrajové podmínky jsou nezávislé na ${ displaystyle rho}$ a koncové body ${ displaystyle zeta _ {a}}$ a ${ displaystyle zeta _ {b}}$

${ displaystyle tan ( varphi _ {a}) = tan ( varphi _ {b}) = { frac {1} {2 omega _ {k}}}}$

Proto získáme rovnici

${ displaystyle varphi _ {a} - varphi _ {b} + k pi = k pi = int _ { zeta _ {b}} ^ { zeta _ {a}} d zeta { frac {d varphi} {d zeta}} = omega _ {k} ( zeta _ {a} - zeta _ {b})}$

dávat přesné řešení pro frekvence ${ displaystyle omega _ {k}}$

${ displaystyle omega _ {k} = { frac {k pi} { zeta _ {a} - zeta _ {b}}}}$

Vlastní frekvence ${ displaystyle omega _ {k}}$ jsou pozitivní, jak je požadováno, protože ${ displaystyle zeta _ {a}> zeta _ {b}}$, a zahrnují sadu harmonické z základní frekvence ${ displaystyle omega _ {1} { stackrel { mathrm {def}} {=}} pi / ( zeta _ {a} - zeta _ {b})}$. Nakonec vlastní čísla ${ displaystyle beta _ {k}}$ lze odvodit z ${ displaystyle omega _ {k}}$

${ displaystyle beta _ {k} = omega _ {k} ^ {2} + { frac {1} {4}}}$

Dohromady nevyvážené složky roztoku odpovídají a Fourierova řada rozklad počáteční distribuce koncentrace ${ displaystyle c ( zeta, tau = 0)}$vynásobeno funkce vážení ${ displaystyle e ^ { zeta / 2}}$. Každá Fourierova složka se rozpadá samostatně jako ${ displaystyle e ^ {- beta _ {k} tau}}$, kde ${ displaystyle beta _ {k}}$ je uveden výše, pokud jde o Fourierova řada frekvence ${ displaystyle omega _ {k}}$.

Viz také

• Lammova rovnice
• Archibaldův přístup a jednodušší prezentace základní fyziky Mason-Weaverovy rovnice než v originále.^[2]

Reference