Paley – Zygmundova nerovnost - Paley–Zygmund inequality

v matematika, Paley – Zygmundova nerovnost omezuje pravděpodobnost, že pozitivní náhodná proměnná je malá, pokud jde o její první dvě momenty. Nerovnost byla potvrzena Raymond Paley a Antoni Zygmund.

Teorém: Pokud Z ≥ 0 je a náhodná proměnná s konečnou odchylkou, a pokud ${displaystyle 0leq heta leq 1}$, pak

${displaystyle operatorname {P} (Z> heta operatorname {E} [Z]) geq (1- heta) ^ {2} {frac {operatorname {E} [Z] ^ {2}} {operatorname {E} [Z ^ {2}]}}.}$

Důkaz: Za prvé,

${displaystyle operatorname {E} [Z] = operatorname {E} [Z, mathbf {1} _ {{Zleq heta operatorname {E} [Z]}}] + operatorname {E} [Z, mathbf {1} _ { {Z> heta operatorname {E} [Z]}}].}$

První doplněk je maximálně ${displaystyle heta operatorname {E} [Z]}$, zatímco druhý je nanejvýš ${displaystyle operatorname {E} [Z ^ {2}] ^ {1/2} operatorname {P} (Z> heta operatorname {E} [Z]) ^ {1/2}}$ podle Cauchy – Schwarzova nerovnost. Poté následuje požadovaná nerovnost. ∎

Související nerovnosti

Nerovnost Paley – Zygmund lze psát jako

${displaystyle operatorname {P} (Z> heta operatorname {E} [Z]) geq {frac {(1- heta) ^ {2}, operatorname {E} [Z] ^ {2}} {operatorname {Var} Z + operatorname {E} [Z] ^ {2}}}.}$

To lze zlepšit. Podle Cauchy – Schwarzova nerovnost,

${displaystyle operatorname {E} [Z- heta operatorname {E} [Z]] leq operatorname {E} [(Z- heta operatorname {E} [Z]) mathbf {1} _ {{Z> heta operatorname {E} [Z]}}] leq operatorname {E} [(Z- heta operatorname {E} [Z]) ^ {2}] ^ {1/2} operatorname {P} (Z> heta operatorname {E} [Z] ) ^ {1/2}}$

což po přeskupení z toho vyplývá

${displaystyle operatorname {P} (Z> heta operatorname {E} [Z]) geq {frac {(1- heta) ^ {2} operatorname {E} [Z] ^ {2}} {operatorname {E} [( Z- heta operatorname {E} [Z]) ^ {2}]}} = {frac {(1- heta) ^ {2} operatorname {E} [Z] ^ {2}} {operatorname {Var} Z + ( 1 - heta) ^ {2} operatorname {E} [Z] ^ {2}}}.}$

Tato nerovnost je ostrá; rovnosti je dosaženo, pokud se Z téměř jistě rovná kladné konstantě.

To zase znamená další vhodnou formu (známou jako Cantelliho nerovnost ) který je

${displaystyle operatorname {P} (Z> mu - heta sigma) geq {frac {heta ^ {2}} {1+ heta ^ {2}}},}$

kde ${displaystyle mu = operatorname {E} Z}$ a ${displaystyle sigma ^ {2} = operatorname {Var} Z}$To vyplývá ze střídání ${displaystyle heta = 1- heta 'sigma / mu}$ platné, když ${displaystyle 0leq mu - heta sigma leq mu}$.

Posílená forma Paley-Zygmundovy nerovnosti uvádí, že pokud Z je nezáporná náhodná proměnná, pak

${displaystyle operatorname {P} (Z> heta operatorname {E} [Zmid Z> 0]) geq {frac {(1- heta) ^ {2}, operatorname {E} [Z] ^ {2}} {operatorname { E} [Z ^ {2}]}}}$

pro každého ${displaystyle 0leq heta leq 1}$Tato nerovnost následuje uplatněním obvyklé Paley-Zygmundovy nerovnosti na podmíněné rozdělení Z vzhledem k tomu, že je pozitivní, a konstatuje, že různé faktory ${displaystyle operatorname {P} (Z> 0)}$ zrušení.

Jak tato nerovnost, tak obvyklá Paley-Zygmundova nerovnost také připouštějí ${displaystyle L ^ {p}}$ verze:^[1] Pokud Z je nezáporná náhodná proměnná a ${displaystyle p> 1}$ pak

${displaystyle operatorname {P} (Z> heta operatorname {E} [Zmid Z> 0]) geq {frac {(1- heta) ^ {p / (p-1)}, operatorname {E} [Z] ^ { p / (p-1)}} {operatorname {E} [Z ^ {p}] ^ {1 / (p-1)}}}.}$

pro každého ${displaystyle 0leq heta leq 1}$. Z toho vyplývá stejný důkaz jako výše, ale s použitím Hölderova nerovnost místo Cauchy-Schwarzovy nerovnosti.

Viz také

• Cantelli's_inequality

Reference

Další čtení

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Paley, R. E. A. C .; Zygmund, A. (duben 1932). "U některých sérií funkcí, (3)". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 28 (2): 190–205. Bibcode:1932PCPS ... 28..190P. doi:10.1017 / S0305004100010860.
• Paley, R. E. A. C .; Zygmund, A. (červenec 1932). Msgstr "Poznámka k analytickým funkcím v jednotkovém kruhu". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 28 (3): 266–272. Bibcode:1932PCPS ... 28..266P. doi:10.1017 / S0305004100010112.