Magnetická helicita - Magnetic helicity - Wikipedia

Magnetická helicita je ideální kvadratický invariant^[1][2] (množství, které je konzervovaný v nepřítomnosti odpor ) z magnetohydrodynamika rovnice, která představuje inverzní převod v Fourierův prostor.^[3] To znamená, že z magnetických spirálových struktur malého rozsahu lze vytvářet větší a větší struktury.

Díky těmto dvěma vlastnostem (ideální invariance a inverzní přenos) má velký význam v několika astrofyzikálních systémech, kde je měrný odpor obvykle velmi nízký. Cituji jen několik: Dynamika magnetické helicity je důležitá sluneční erupce a výrony koronální hmoty,^[4] je přítomen v solární bouře^[5] a projevuje se prostřednictvím Parkerova spirála v největších měřítcích,^[6] a jeho ochrana je v dynamo procesy.^{[7][8][9][10]} Hraje také roli v výzkum fúze, například v sevření obráceného pole experimenty.^[11]

Matematická definice

Helicita ${ displaystyle H ^ { mathbf {f}}}$ hladkého vektorového pole ${ displaystyle mathbf {f}}$ Definováno na doméně v 3D prostoru je standardní míra rozsahu, ve kterém se siločáry omotávají a navíjejí kolem sebe.^[12][13] Je definován jako objemový integrál skalárního součinu ${ displaystyle mathbf {f}}$ a jeho kučera ${ displaystyle nabla times { mathbf {f}}}$:

${ displaystyle H ^ { mathbf {f}} = int { mathbf {f}} cdot { nabla times { mathbf {f}}} , d ^ {3} { mathbf {r} }}$,

kde ${ displaystyle d ^ {3} { mathbf {r}}}$ je prvek diferenciálního objemu pro objemový integrál, přičemž integrace probíhá v celé uvažované doméně.

Pokud jde o magnetickou helicitu ${ displaystyle H ^ { mathbf {M}}}$, to je helicita potenciál magnetického vektoru ${ displaystyle { mathbf {A}}}$, takový, že ${ displaystyle { mathbf {B}} = nabla times { mathbf {A}}}$ je magnetické pole:^[10]

${ displaystyle H ^ { mathbf {M}} = int { mathbf {A}} cdot { mathbf {B}} , d ^ {3} { mathbf {r}}}$.

Magnetická helicita má jednotky Wb² (webové stránky na druhou) dovnitř SI jednotky a Mx² (maxwells na druhou) dovnitř Gaussovy jednotky.^[14]

Helicita magnetického pole ${ displaystyle H ^ { mathbf {J}} = int { mathbf {B}} cdot { mathbf {J}} , d ^ {3} { mathbf {r}}}$, s ${ displaystyle { mathbf {J}} = nabla times { mathbf {B}}}$ proud, se nazývá "současná helicita "^[15] a není ideální invariant.

Ideální kvadratická invariance

Na konci 50. let Lodewijk Woltjer a Walter M. Elsässer objevil samostatně ideální invariance magnetické helicity,^[1][2] tj. jeho zachování v případě nulového měrného odporu. Woltjerův důkaz, platný pro uzavřený systém, se opakuje následovně:

V ideálním případě MHD, vývoj magnetického pole a potenciálního času magnetického vektoru se řídí:

${ displaystyle částečné _ {t} { mathbf {B}} = nabla krát ({ mathbf {v}} krát { mathbf {B}}),}$ ${ displaystyle částečné _ {t} { mathbf {A}} = { mathbf {v}} krát { mathbf {B}} + nabla ( Phi),}$

kde druhá rovnice je získána "rozmotáním" první a ${ displaystyle nabla ( Phi)}$ je skalární potenciál dané stav měřidla (viz odstavec o zvážení měřidla ). Volba měřidla tak, aby skalární potenciál zmizel (${ displaystyle nabla ( Phi)}$= 0), vývoj času magnetické helicity je dán vztahem:

${ displaystyle částečné _ {t} H ^ { mathbf {M}} = int ( částečné _ {t} { mathbf {A}}) cdot { mathbf {B}} + { mathbf { A}} cdot částečné _ {t} { mathbf {B}} d ^ {3} { mathbf {r}} = int ({ mathbf {v}} krát { mathbf {B}} ) cdot { mathbf {B}} d ^ {3} { mathbf {r}} + int { mathbf {A}} cdot ( nabla times částečné _ {t} { mathbf {A }}) d ^ {3} { mathbf {r}}}$.

První integrál je od té doby nulový ${ displaystyle { mathbf {B}}}$ je kolmý k křížový produkt ${ displaystyle { mathbf {v}} krát { mathbf {B}}}$. Druhý integrál lze integrovat po částech, což dává:

${ displaystyle částečné _ {t} H ^ { mathbf {M}} = int _ {V} nabla times { mathbf {A}} cdot ( částečné _ {t} { mathbf {A }}) d ^ {3} { mathbf {r}} + int _ {S} { mathbf {A}} times ( částečné _ {t} { mathbf {A}}) d ^ {2 } { mathbf {r}} = 0.}$

První integrál se provádí v celém objemu a je nulový, protože ${ displaystyle nabla times { mathbf {A}} = { mathbf {B}} perp částečný _ {t} { mathbf {A}}}$ jak bylo napsáno výše. Druhý integrál odpovídá plošnému integrálu ${ displaystyle S}$, hranice uzavřeného systému. Je nulová, protože pohyby uvnitř uzavřeného systému nemohou ovlivnit vektorový potenciál venku, takže na hraničním povrchu ${ displaystyle částečné _ {t} A = 0}$, protože potenciál magnetického vektoru je spojitá funkce.

Ve všech situacích, kdy je magnetická helicita invariantní k měřidlu (viz odstavec níže), je proto magnetická helicita v ideálním případě zachována bez nutnosti volby konkrétního měřidla ${ displaystyle nabla ( Phi) = 0}$ .

Magnetická helicita zůstává zachována v dobré aproximaci i při malém, ale omezeném měrném odporu, v takovém případě magnetické opětovné připojení rozptýlí se energie.^[6][10]

Vlastnost inverzního převodu

Magnetická helicita podléhá inverznímu přenosu ve Fourierově prostoru. Tuto možnost poprvé navrhl Uriel Frisch a spolupracovníky^[3] a byla ověřena mnoha numerickými experimenty.^{[16][17][18][19][20][21]} To potvrzuje, že inverzním přenosem magnetické helicity se postupně vytvářejí větší a větší magnetické struktury z malých fluktuací.

Argument pro tento inverzní převod převzat z^[3] zde se opakuje, což je založeno na takzvané „podmínce realizovatelnosti“ na Fourierově spektru magnetické helicity ${ displaystyle { hat {H}} _ { mathbf {k}} ^ {M} = { hat { mathbf {A}}} _ { mathbf {k}} ^ {*} cdot { klobouk { mathbf {B}}} _ { mathbf {k}}}$ (kde ${ displaystyle { hat { mathbf {B}}} _ { mathbf {k}}}$ je Fourierův koeficient na vlnovodič ${ displaystyle { mathbf {k}}}$ magnetického pole ${ displaystyle { mathbf {B}}}$a podobně pro ${ displaystyle { hat { mathbf {A}}}}$, hvězda označující komplexní konjugát. "Podmínka realizovatelnosti" odpovídá aplikaci Cauchy-Schwarzova nerovnost, který poskytuje:

${ displaystyle | { hat {H}} _ { mathbf {k}} ^ {M} | leq { frac {2E _ { mathbf {k}} ^ {M}} {| { mathbf {k }} |}}}$,

s ${ displaystyle E _ { mathbf {k}} ^ {M} = { frac {1} {2}} { hat { mathbf {B}}} _ { mathbf {k}} ^ {*} cdot { hat { mathbf {B}}} _ { mathbf {k}}}$ spektrum magnetické energie. Chcete-li získat tuto nerovnost, skutečnost, že ${ displaystyle | { hat { mathbf {B}}} _ { mathbf {k}} | = | { mathbf {k}} || { hat { mathbf {A}}} _ { mathbf {k}} ^ { perp} |}$ (s ${ displaystyle { hat { mathbf {A}}} _ { mathbf {k}} ^ { perp}}$ the solenoidní část Fourierova transformovaného magnetického vektorového potenciálu, kolmého na vlnový vektor ve Fourierově prostoru), protože ${ displaystyle { hat { mathbf {B}}} _ { mathbf {k}} = i { mathbf {k}} krát { hat { mathbf {A}}} _ { mathbf {k }}}$. Faktor 2 není v příspěvku uveden^[3] protože magnetická helicita je zde definována alternativně jako ${ displaystyle { frac {1} {2}} int { mathbf {A}} cdot { mathbf {B}} d ^ {3} { mathbf {r}}}$.

Lze si pak představit počáteční situaci bez rychlostního pole a magnetického pole přítomného pouze u dvou vlnových vektorů ${ displaystyle mathbf {p}}$ a ${ displaystyle mathbf {q}}$. Předpokládáme plně spirálové magnetické pole, což znamená, že saturuje podmínku realizovatelnosti: ${ displaystyle | { hat {H}} _ { mathbf {p}} ^ {M} | = { frac {2E _ { mathbf {p}} ^ {M}} {| { mathbf {p} } |}}}$ a ${ displaystyle | { hat {H}} _ { mathbf {q}} ^ {M} | = { frac {2E _ { mathbf {q}} ^ {M}} {| { mathbf {q} } |}}}$. Za předpokladu, že se veškerý přenos energie a magnetické helicity provádí do jiného vlnového vektoru ${ displaystyle mathbf {k}}$, zachování magnetické helicity na jedné straně a celkové energie ${ displaystyle E ^ {T} = E ^ {M} + E ^ {K}}$ (součet (m) agnetické a (k) inetické energie) na druhé straně dává:

${ displaystyle H _ { mathbf {k}} ^ {M} = H _ { mathbf {p}} ^ {M} + H _ { mathbf {q}} ^ {M},}$

${ displaystyle E _ { mathbf {k}} ^ {T} = E _ { mathbf {p}} ^ {T} + E _ { mathbf {q}} ^ {T} = E _ { mathbf {p}} ^ {M} + E _ { mathbf {q}} ^ {M}.}$

Druhá rovnost pro energii vychází ze skutečnosti, že uvažujeme počáteční stav bez kinetické energie. Pak jsme nutně ${ displaystyle | mathbf {k} | leq max (| mathbf {p} |, | mathbf {q} |)}$. Opravdu, kdybychom měli ${ displaystyle | mathbf {k} |> max (| mathbf {p} |, | mathbf {q} |)}$, pak:

${ displaystyle H _ { mathbf {k}} ^ {M} = H _ { mathbf {p}} ^ {M} + H _ { mathbf {q}} ^ {M} = { frac {2E _ { mathbf {p}} ^ {M}} {| mathbf {p} |}} + { frac {2E _ { mathbf {q}} ^ {M}} {| mathbf {q} |}}> { frac {2 (E _ { mathbf {p}} ^ {M} + E _ { mathbf {q}} ^ {M})} {| mathbf {k} |}} = { frac {2E _ { mathbf {k}} ^ {T}} {| mathbf {k} |}} geq { frac {2E _ { mathbf {k}} ^ {M}} {| mathbf {k} |}},}$

což by porušilo podmínku realizovatelnosti. Tohle znamená tamto ${ displaystyle | mathbf {k} | leq max (| mathbf {p} |, | mathbf {q} |)}$. Zejména pro ${ displaystyle | { mathbf {p}} | = | { mathbf {q}} |}$se magnetická helicita přenáší na menší vlnový vektor, což znamená na větší měřítka.

Topologická interpretace

Magnetická helicita je zobecněním topologického konceptu spojovací číslo na diferenciální veličiny potřebné k popisu magnetického pole.^[6] Stejně jako u mnoha veličin v elektromagnetismu úzce souvisí magnetická helicita (která popisuje čáry magnetického pole) tekutá mechanická helicita (který popisuje vedení toku tekutiny) a jejich dynamika jsou vzájemně propojeny.^[3][22]

Pokud magnetické siločáry sledují prameny zkroucené lano, tato konfigurace by měla nenulovou magnetickou helicitu; levoruká lana by měla záporné hodnoty a pravá lana by měla kladné hodnoty.

Pokud je magnetické pole turbulentní a slabě nehomogenní, magnetická helicita hustota a jeho související tok lze definovat z hlediska hustoty vazeb siločar.^[15]

Úvahy o měřidle

Magnetická helicita je veličina závislá na měřidle, protože ${ displaystyle mathbf {A}}$ lze předefinovat přidáním přechodu (výběr měřidla ). Avšak pro dokonale vodivé hranice nebo periodické systémy bez síťového magnetického toku je magnetická helicita obsažená v celé doméně invariantní měřidlo,^[15] to znamená nezávisle na volbě měřidla. Měřidlo-invariantní relativní helicita byla definována pro objemy s nenulovým magnetickým tokem na jejich hraničních plochách.^[6]

Viz také

• Woltjerova věta

Reference

externí odkazy

• A. A. Pevtsova Helicity Strana
• Mitch Berger Publikace Strana