Logaritmický číselný systém - Logarithmic number system - Wikipedia

A logaritmický číselný systém (LNS) je aritmetický systém používaný k reprezentaci reálná čísla v počítači a digitální hardware, zejména pro zpracování digitálních signálů.

Přehled

V LNS číslo ${ displaystyle X}$ , je reprezentován logaritmus, ${ displaystyle x}$ , z jeho absolutní hodnota jak následuje:

{ displaystyle X rightarrow {s, x = log _ {b} (| X |) },}

kde ${ displaystyle s}$ je trochu označující znak ${ displaystyle X}$ ( ${ displaystyle s = 0}$ -li ${ displaystyle X> 0}$ a ${ displaystyle s = 1}$ -li ${ displaystyle X <0}$ ).

Číslo ${ displaystyle x}$ je reprezentováno binárním slovem, které je obvykle v doplněk dvou formát. LNS lze považovat za plovoucí bod číslo s významně být vždy rovno 1 a ne-celé číslo exponent. Tato formulace zjednodušuje operace násobení, dělení, pravomocí a kořenů, protože se redukují na sčítání, odčítání, násobení a dělení.

Na druhou stranu jsou operace sčítání a odčítání komplikovanější a počítají se podle vzorce:

{ displaystyle log _ {b} (| X | + | Y |) = x + s_ {b} (y-x)}

{ displaystyle log _ {b} (|| X | - | Y ||) = x + d_ {b} (y-x),}

kde je funkce "součet" definována ${ displaystyle s_ {b} (z) = log _ {b} (1 + b ^ {z})}$ a funkce „rozdíl“ pomocí ${ displaystyle d_ {b} (z) = log _ {b} (| 1-b ^ {z} |)}$ . Tyto funkce ${ displaystyle s_ {b} (z)}$ a ${ displaystyle d_ {b} (z)}$ jsou také známé jako Gaussovské logaritmy.

Zjednodušení násobení, dělení, kořenů a pravomocí je vyváženo náklady na vyhodnocení těchto funkcí pro sčítání a odčítání. Tato přidaná cena vyhodnocení nemusí být kritická při použití LNS primárně pro zvýšení přesnosti matematických operací s plovoucí desetinnou čárkou.

Dějiny

Logaritmické číselné systémy byly nezávisle vynalezeno a zveřejněna nejméně třikrát jako alternativa k pevný bod a plovoucí bod číselné systémy.^[1]

Nicholas Kingsbury a Peter Rayner představili pro „logaritmickou aritmetiku“ zpracování digitálních signálů (DSP) v roce 1971.^[2]

Podobný LNS s názvem „podepsaný logaritmický číselný systém“ (SLNS) popsali v roce 1975 Earl Swartzlander a Aristides Alexopoulos; spíše než použít logaritmy se zápisem dvou doplňků, oni offset (zvětšete počet znázorněných čísel), abyste zabránili negativním záznamům.^[3]

Samuel Lee a Albert Edgar popsali podobný systém, kterému říkali číselný systém „Focus“, v roce 1977.^[4]^[1]^[5]^[6]

Matematické základy pro sčítání a odčítání ve stopě LNS zpět Zecchini Leonelli a Carl Friedrich Gauss počátkem 19. století.^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]

Aplikace

LNS byl použit v Gravitační potrubí (HROZNA-5 ) speciální superpočítač^[12] který vyhrál Cena Gordona Bella v roce 1999.

Podstatné úsilí o prozkoumání použitelnosti LNS jako životaschopné alternativy k plovoucí řádové čárce pro všeobecné použití jednopřesných reálných čísel je popsáno v kontextu Evropský logaritmický mikroprocesor (JILM).^[13]^[14] Vyrobený prototyp procesoru, který má 32bitový LNS založený na kotransformaci aritmetická logická jednotka (ALU), prokázal LNS jako „přesnější alternativu k plovoucí desetinné čárce“ se zlepšenou rychlostí. Další zdokonalení designu LNS založené na architektuře ELM ukázalo jeho schopnost nabídnout výrazně vyšší rychlost a přesnost než také s plovoucí desetinnou čárkou.^[15]

LNS se někdy používají v FPGA aplikace založené na principu, kde většina aritmetických operací je násobení nebo dělení.^[16]

Viz také

Reference

^ ^A ^b Lee, Samuel C .; Edgar, Albert D. (září 1979). „Dodatek k“ systému čísel Focus"". Transakce IEEE na počítačích. IEEE. C-28 (9): 693. doi:10.1109 / TC.1979.1675442. ISSN 0018-9340. (Poznámka: Jméno Nicholase Kingsburyho je v této citaci nesprávně napsáno.)
^ Kingsbury, Nicholas G .; Rayner, Peter J. W. (1971-01-28). "Digitální filtrování pomocí logaritmické aritmetiky". Elektronické dopisy. Instituce inženýrství a technologie (IET). 7 (2): 56–58. doi:10.1049 / el: 19710039. ISSN 0013-5194. Také přetištěno v: Swartzlander, Jr., Earl E., ed. (1990). Počítačová aritmetika. Já. Los Alamitos, CA, USA: IEEE Computer Society Press.
^ Swartzlander, Jr., Earl E .; Alexopoulos, Aristides G. (prosinec 1975). Msgstr "Systém čísel / znaménků / logaritmů". Transakce IEEE na počítačích. IEEE. C-24 (12): 1238–1242. doi:10.1109 / T-C.1975.224172. ISSN 0018-9340. Také přetištěno v: Swartzlander, Jr., Earl E., ed. (1990). Počítačová aritmetika. Já. Los Alamitos, CA, USA: IEEE Computer Society Press.
^ Lee, Samuel C .; Edgar, Albert D. (listopad 1977). "Systém čísel zaostření". Transakce IEEE na počítačích. IEEE. C-26 (11): 1167–1170. doi:10.1109 / TC.1977.1674770. ISSN 0018-9340.
^ Lee, Samuel C .; Edgar, Albert D. (1977). „Kapitola I.1 .: Návrh mikropočítače - systém čísel mikropočítače Focus“. V Lee, Samuel C. (ed.). Návrh a aplikace mikropočítače. Academic Press, Inc. s. 1–40. doi:10.1016 / B978-0-12-442350-3.50005-5. ISBN 0-12-442350-7. [1]
^ Edgar, Albert D .; Lee, Samuel C. (březen 1979). "FOCUS mikropočítačový číselný systém". Komunikace ACM. Stiskněte ACM. 22 (3): 166–177. doi:10.1145/359080.359085.
^ Leonelli, Zecchini (1803) [1802]. Logaritmická dodávka. Théorie des logarithmes additionels et diductifs (francouzsky). Bordeaux: Brossier. (Pozn. 1802/1803 je rok XI. V Francouzský republikánský kalendář.)
^ Leonhardi, Gottfried Wilhelm (1806). LEONELLIs logarithmische Supplemente, als ein Beitrag, Mängel der gewöhnlichen Logarithmentafeln zu ersetzen. Aus dem Französischen nebst einigen Zusätzen von GOTTFRIED WILHELM LEONHARDI, Souslieutenant beim kurfürstlichen sächsischen Feldartilleriecorps (v němčině). Drážďany: Walther'sche Hofbuchhandlung. (Pozn. Rozšířený překlad Zecchini Leonelli Logaritmická dodávka. Théorie des logarithmes additionels et diductifs.)
^ Gauß, Johann Carl Friedrich (1808-02-12). „LEONELLI, Logarithmische Supplemente“. Allgemeine Literaturzeitung (v němčině). Halle-Leipzig (45): 353–356.
^ „Logaritmus: sčítání a odčítání neboli Gaussovy logaritmy“. Encyklopedie Britannica Jedenácté vydání.
^ Dunnington, Guy Waldo (2004) [1955]. Gray, Jeremy; Dohse, Fritz-Egbert (eds.). Carl Friedrich Gauss - Titan vědy. Série spektra (přepracované vydání). Mathematical Association of America (MAA). ISBN 978-0-88385-547-8.
^ Makino, Junichiro; Taiji, Makoto (1998). Vědecké simulace se speciálními počítači: systémy GRAPE. John Wiley & Sons. Bibcode:1998sssc.book ..... M. ISBN 978-0-471-96946-4.
^ Coleman, John Nicholas; Softley, Christopher I .; Kadlec, Jiří; Matoušek, Rudolf; Licko, Miroslav; Pohl, Zdeněk; Hermanek, Antonin (7. 8. 2002) [04.11.2001]. „Evropský logaritmický mikroprocesor - aplikace QR RLS“. Záznam z konference třicáté páté asilomarské konference o signálech, systémech a počítačích (kat. Č. 01CH37256). 1. Monterey, CA, USA: IEEE. 155–159. doi:10.1109 / ACSSC.2001.986897. ISBN 0-7803-7147-X. ISSN 1058-6393.
^ Coleman, John Nicholas; Softley, Christopher I .; Kadlec, Jiří; Matoušek, Rudolf; Tichy, Milan; Pohl, Zdeněk; Hermanek, Antonín; Benschop, Nico F. (duben 2008) [2008-02-26]. „Evropský logaritmický mikroprocesor“. Transakce IEEE na počítačích. IEEE. 57 (4): 532–546. doi:10.1109 / TC.2007.70791. ISSN 0018-9340.
^ Ismail, R. Che; Coleman, John Nicholas (18. 8. 2011) [2011-07-25]. "ROM bez LNS". 20. IEEE 20. symposium o počítačové aritmetice. IEEE. 43–51. doi:10.1109 / ARITH.2011.15. ISBN 978-1-4244-9457-6. ISSN 1063-6889.
^ Fu, Haohuan; Mencer, Oskar; Luk, Wayne (02.01.2007) [2006-12-13]. Msgstr "Porovnání reprezentace plovoucí desetinné čárky a logaritmického čísla pro rekonfigurovatelné zrychlení". 2006 Mezinárodní konference IEEE o programovatelných technologiích v terénu. IEEE. 337–340. doi:10.1109 / FPT.2006.270342. ISBN 978-0-7803-9728-6.

Další čtení

Muller, Jean-Michel; Scherbyna, Alexandre; Tisserand, Arnaud (únor 1998). „Semi-logaritmické číselné systémy“ (PDF). Transakce IEEE na počítačích. 47 (2): 145–151. doi:10.1109/12.663760. ISSN 0018-9340. Archivováno (PDF) od originálu dne 2018-07-13. Citováno 2018-07-11. Dříve publikováno v: Muller, Jean-Michel; Scherbyna, Alexandre; Tisserand, Arnaud (červenec 1995). „Semi-logaritmické číselné systémy“. Sborník 12. sympozia IEEE o počítačové aritmetice (ARITH 12 ). Bath, Velká Británie.
Kahrs, Mark; Brandenburg, Karlheinz, eds. (2002) [1998]. Aplikace digitálního zpracování signálu na zvuk a akustiku (PDF). Kluwer Academic Publishing. ISBN 0-7923-8130-0. Archivováno (PDF) od originálu dne 07.07.2018. Citováno 2018-07-07. (Pozn. Popisuje 13bitový LNS používaný v Yamaha hudební syntezátory během 80. let.)
Kremer, Hermann (2002-08-29). „Gauss'sche Additionslogarithmen feiern 200. Geburtstag“. de.sci.mathematik (v němčině). Archivováno od originálu dne 07.07.2018. Citováno 2018-07-07.
Zehendner, Eberhard (léto 2008). „Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme“ (PDF) (Přednáškový scénář) (v němčině). Friedrich-Schiller-Universität Jena. Archivováno (PDF) z původního dne 2018-07-09. Citováno 2018-07-09. [2]
Hayes, Brian (září – říjen 2009). „Vyšší aritmetika“. Americký vědec. 97 (5): 364–368. doi:10.1511/2009.80.364. Archivováno z původního dne 2018-07-09. Citováno 2018-07-09. [3]. Také přetištěno v: Hayes, Brian (2017). „Kapitola 8: Vyšší aritmetika“. Foolproof a další matematické meditace (1. vyd.). MIT Press. str. 113–126. ISBN 978-0-26203686-3. ISBN 0-26203686-X.

externí odkazy

[Lee_1979_1-1] A ^b Lee, Samuel C .; Edgar, Albert D. (září 1979). „Dodatek k“ systému čísel Focus"". Transakce IEEE na počítačích. IEEE. C-28 (9): 693. doi:10.1109 / TC.1979.1675442. ISSN 0018-9340. (Poznámka: Jméno Nicholase Kingsburyho je v této citaci nesprávně napsáno.)

[Kingsbury_1971-2] Kingsbury, Nicholas G .; Rayner, Peter J. W. (1971-01-28). "Digitální filtrování pomocí logaritmické aritmetiky". Elektronické dopisy. Instituce inženýrství a technologie (IET). 7 (2): 56–58. doi:10.1049 / el: 19710039. ISSN 0013-5194. Také přetištěno v: Swartzlander, Jr., Earl E., ed. (1990). Počítačová aritmetika. Já. Los Alamitos, CA, USA: IEEE Computer Society Press.

[Swartzlander_1975-3] Swartzlander, Jr., Earl E .; Alexopoulos, Aristides G. (prosinec 1975). Msgstr "Systém čísel / znaménků / logaritmů". Transakce IEEE na počítačích. IEEE. C-24 (12): 1238–1242. doi:10.1109 / T-C.1975.224172. ISSN 0018-9340. Také přetištěno v: Swartzlander, Jr., Earl E., ed. (1990). Počítačová aritmetika. Já. Los Alamitos, CA, USA: IEEE Computer Society Press.

[Lee_1977_1-4] Lee, Samuel C .; Edgar, Albert D. (listopad 1977). "Systém čísel zaostření". Transakce IEEE na počítačích. IEEE. C-26 (11): 1167–1170. doi:10.1109 / TC.1977.1674770. ISSN 0018-9340.

[Lee_1977_2-5] Lee, Samuel C .; Edgar, Albert D. (1977). „Kapitola I.1 .: Návrh mikropočítače - systém čísel mikropočítače Focus“. V Lee, Samuel C. (ed.). Návrh a aplikace mikropočítače. Academic Press, Inc. s. 1–40. doi:10.1016 / B978-0-12-442350-3.50005-5. ISBN 0-12-442350-7. [1]

[Lee_1979_2-6] Edgar, Albert D .; Lee, Samuel C. (březen 1979). "FOCUS mikropočítačový číselný systém". Komunikace ACM. Stiskněte ACM. 22 (3): 166–177. doi:10.1145/359080.359085.

[Leonelli_1802-7] Leonelli, Zecchini (1803) [1802]. Logaritmická dodávka. Théorie des logarithmes additionels et diductifs (francouzsky). Bordeaux: Brossier. (Pozn. 1802/1803 je rok XI. V Francouzský republikánský kalendář.)

[Leonhardi_1806-8] Leonhardi, Gottfried Wilhelm (1806). LEONELLIs logarithmische Supplemente, als ein Beitrag, Mängel der gewöhnlichen Logarithmentafeln zu ersetzen. Aus dem Französischen nebst einigen Zusätzen von GOTTFRIED WILHELM LEONHARDI, Souslieutenant beim kurfürstlichen sächsischen Feldartilleriecorps (v němčině). Drážďany: Walther'sche Hofbuchhandlung. (Pozn. Rozšířený překlad Zecchini Leonelli Logaritmická dodávka. Théorie des logarithmes additionels et diductifs.)

[Gauss_1808-9] Gauß, Johann Carl Friedrich (1808-02-12). „LEONELLI, Logarithmische Supplemente“. Allgemeine Literaturzeitung (v němčině). Halle-Leipzig (45): 353–356.

[Theodora-10] „Logaritmus: sčítání a odčítání neboli Gaussovy logaritmy“. Encyklopedie Britannica Jedenácté vydání.

[Dunnington_2004-11] Dunnington, Guy Waldo (2004) [1955]. Gray, Jeremy; Dohse, Fritz-Egbert (eds.). Carl Friedrich Gauss - Titan vědy. Série spektra (přepracované vydání). Mathematical Association of America (MAA). ISBN 978-0-88385-547-8.

[Makino_1998-12] Makino, Junichiro; Taiji, Makoto (1998). Vědecké simulace se speciálními počítači: systémy GRAPE. John Wiley & Sons. Bibcode:1998sssc.book ..... M. ISBN 978-0-471-96946-4.

[Coleman_2001-13] Coleman, John Nicholas; Softley, Christopher I .; Kadlec, Jiří; Matoušek, Rudolf; Licko, Miroslav; Pohl, Zdeněk; Hermanek, Antonin (7. 8. 2002) [04.11.2001]. „Evropský logaritmický mikroprocesor - aplikace QR RLS“. Záznam z konference třicáté páté asilomarské konference o signálech, systémech a počítačích (kat. Č. 01CH37256). 1. Monterey, CA, USA: IEEE. 155–159. doi:10.1109 / ACSSC.2001.986897. ISBN 0-7803-7147-X. ISSN 1058-6393.

[Coleman_2008-14] Coleman, John Nicholas; Softley, Christopher I .; Kadlec, Jiří; Matoušek, Rudolf; Tichy, Milan; Pohl, Zdeněk; Hermanek, Antonín; Benschop, Nico F. (duben 2008) [2008-02-26]. „Evropský logaritmický mikroprocesor“. Transakce IEEE na počítačích. IEEE. 57 (4): 532–546. doi:10.1109 / TC.2007.70791. ISSN 0018-9340.

[Ismail_2011-15] Ismail, R. Che; Coleman, John Nicholas (18. 8. 2011) [2011-07-25]. "ROM bez LNS". 20. IEEE 20. symposium o počítačové aritmetice. IEEE. 43–51. doi:10.1109 / ARITH.2011.15. ISBN 978-1-4244-9457-6. ISSN 1063-6889.

[Fu_2006-16] Fu, Haohuan; Mencer, Oskar; Luk, Wayne (02.01.2007) [2006-12-13]. Msgstr "Porovnání reprezentace plovoucí desetinné čárky a logaritmického čísla pro rekonfigurovatelné zrychlení". 2006 Mezinárodní konference IEEE o programovatelných technologiích v terénu. IEEE. 337–340. doi:10.1109 / FPT.2006.270342. ISBN 978-0-7803-9728-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]