Gaussův logaritmus - Gaussian logarithm

V matematice logaritmy sčítání a odčítání nebo Gaussovské logaritmy lze použít k nalezení logaritmy z součet a rozdíl dvojice hodnot, jejichž logaritmy jsou známy, aniž by znaly samotné hodnoty.^[1]

Jejich matematické základy sahají až k Zecchini Leonelli^[2]^[3] a Carl Friedrich Gauss^[4]^[1]^[5] počátkem 19. století.^[2]^[3]^[4]^[1]^[5]

The

{displaystyle s_ {b} (z)}

a

{displaystyle d_ {b} (z)}

funkce pro

{displaystyle b = e}

.

Operace sčítání a odčítání lze vypočítat podle vzorce:

{displaystyle log _ {b} (| X | + | Y |) = x + s_ {b} (y-x)}

{displaystyle log _ {b} (|| X | - | Y ||) = x + d_ {b} (y-x),}

kde je funkce "součet" definována ${displaystyle s_ {b} (z) = přihlásit _ {b} (1 + b ^ {z})}$ a funkce „rozdíl“ pomocí ${displaystyle d_ {b} (z) = log _ {b} (| 1-b ^ {z} |)}$ . Funkce ${displaystyle s_ {b} (z)}$ a ${displaystyle d_ {b} (z)}$ jsou také známé jako Gaussovské logaritmy.

Pro přirozené logaritmy s ${displaystyle b = e}$ následující identity s hyperbolické funkce existovat:

{displaystyle s_ {e} (z) = ln 2+ {frac {z} {2}} + ln vlevo (cosh {frac {z} {2}} vpravo)}

{displaystyle d_ {e} (z) = ln 2+ {frac {z} {2}} + ln vlevo | sinh {frac {z} {2}} večer |}

To ukazuje ${displaystyle s_ {e}}$ má Taylorova expanze kde všechny kromě prvního členu jsou racionální a všechny liché výrazy kromě lineárního jsou nulové.

Zjednodušení násobení, dělení, kořenů a pravomocí je vyváženo náklady na vyhodnocení těchto funkcí pro sčítání a odčítání.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C „Logaritmus: sčítání a odčítání nebo Gaussovy logaritmy“. Encyklopedie Britannica Jedenácté vydání.
^ ^A ^b Leonelli, Zecchini (1803) [1802]. Logaritmická dodávka. Théorie des logarithmes additionels et diductifs (francouzsky). Bordeaux: Brossier. (Pozn. 1802/1803 je rok XI. V Francouzský republikánský kalendář.)
^ ^A ^b Leonhardi, Gottfried Wilhelm (1806). LEONELLIs logarithmische Supplemente, als ein Beitrag, Mängel der gewöhnlichen Logarithmentafeln zu ersetzen. Aus dem Französischen nebst einigen Zusätzen von GOTTFRIED WILHELM LEONHARDI, Souslieutenant beim kurfürstlichen sächsischen Feldartilleriecorps (v němčině). Drážďany: Walther'sche Hofbuchhandlung. (Pozn. Rozšířený překlad Zecchini Leonelli Logaritmická dodávka. Théorie des logarithmes additionels et diductifs.)
^ ^A ^b Gauß, Johann Carl Friedrich (1808-02-12). „LEONELLI, Logarithmische Supplemente“. Allgemeine Literaturzeitung (v němčině). Halle-Leipzig (45): 353–356.
^ ^A ^b Dunnington, Guy Waldo (2004) [1955]. Gray, Jeremy; Dohse, Fritz-Egbert (eds.). Carl Friedrich Gauss - Titan vědy. Série spektra (přepracované vydání). Mathematical Association of America (MAA). ISBN 978-0-88385-547-8. ISBN 0-88385-547-X.

Další čtení

Stark, Bruce D. (1997) [1995]. Ostré tabulky pro vymazání měsíční vzdálenosti a nalezení světového času sextantovým pozorováním, včetně pohodlného způsobu zostření nebeských navigačních dovedností na zemi (2. vyd.). Publikace Starpath. ISBN 978-0914025214. 091402521X. Citováno 2015-12-02. (Pozn. Obsahuje tabulku gaussovských logaritmů lg (1+10^-X).)
Kalivoda, Jan (30. 7. 2003). „Bruce Stark - tabulky pro vymazání měsíční vzdálenosti a nalezení GMT podle Sextantova pozorování (1995, 1997)“ (Posouzení). Praha, Česká republika. Archivováno z původního dne 2004-01-12. Citováno 2015-12-02. …] Bruce Stark […] používá Gaussovy logaritmy, které umožňují zůstat ve světě logaritmů po celou dobu výpočtu a transformovat sčítání přirozených čísel na sčítání a odčítání jejich běžných a speciálních logaritmických hodnot pomocí speciální tabulky . Je mnohem jednodušší než převést protokoly na jejich přirozené hodnoty, přidat je a znovu převést na protokoly. Navíc Gaussovy protokoly přinášejí větší přesnost výsledku než tradiční výpočetní metoda a pomáhají pětimístným hodnotám protokolu být pro tuto metodu dostatečně přesné. […] Používání „Gaussianů“ Brucem je v oblasti navigace originální. Neznám další příklad jejich použití námořníky nebo letci - s výjimkou sovětských navigátorů, kteří měli Gaussians ve svých standardních tabulkových sestavách až ca. 1960. […] haversine to nebylo dovoleno sovětské navigační praxi. […] Gaussové při racionalizaci mírumilovně spolupracují s haversiny Procedura LD […] [1][2]
Kremer, Hermann (2002-08-29). „Gauss'sche Additionslogarithmen feiern 200. Geburtstag“. de.sci.mathematik (v němčině). Archivováno od originálu dne 07.07.2018. Citováno 2018-07-07.
Kühn, Klaus (2008). „C. F. Gauß und die Logarithmen“ (PDF) (v němčině). Alling-Biburg, Německo. Archivováno (PDF) od originálu na 2018-07-14. Citováno 2018-07-14.

[Theodora-1] A ^b ^C „Logaritmus: sčítání a odčítání nebo Gaussovy logaritmy“. Encyklopedie Britannica Jedenácté vydání.

[Leonelli_1802-2] A ^b Leonelli, Zecchini (1803) [1802]. Logaritmická dodávka. Théorie des logarithmes additionels et diductifs (francouzsky). Bordeaux: Brossier. (Pozn. 1802/1803 je rok XI. V Francouzský republikánský kalendář.)

[Leonhardi_1806-3] A ^b Leonhardi, Gottfried Wilhelm (1806). LEONELLIs logarithmische Supplemente, als ein Beitrag, Mängel der gewöhnlichen Logarithmentafeln zu ersetzen. Aus dem Französischen nebst einigen Zusätzen von GOTTFRIED WILHELM LEONHARDI, Souslieutenant beim kurfürstlichen sächsischen Feldartilleriecorps (v němčině). Drážďany: Walther'sche Hofbuchhandlung. (Pozn. Rozšířený překlad Zecchini Leonelli Logaritmická dodávka. Théorie des logarithmes additionels et diductifs.)

[Gauss_1808-4] A ^b Gauß, Johann Carl Friedrich (1808-02-12). „LEONELLI, Logarithmische Supplemente“. Allgemeine Literaturzeitung (v němčině). Halle-Leipzig (45): 353–356.

[Dunnington_2004-5] A ^b Dunnington, Guy Waldo (2004) [1955]. Gray, Jeremy; Dohse, Fritz-Egbert (eds.). Carl Friedrich Gauss - Titan vědy. Série spektra (přepracované vydání). Mathematical Association of America (MAA). ISBN 978-0-88385-547-8. ISBN 0-88385-547-X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]