Symetrická aritmetika indexu úrovně - Symmetric level-index arithmetic - Wikipedia

The index úrovně (LI) reprezentace čísel a jejich algoritmy pro aritmetický operace, byly zavedeny Charlesem Clenshawem a Frank Olver v roce 1984.^[1]

Symetrickou formu systému LI a jeho aritmetické operace představili Clenshaw a Peter Turner v roce 1987.^[2]

Michael Anuta, Daniel Lozier, Nicolas Schabanel a Turner vyvinuli algoritmus pro symetrický index úrovně (SLI) aritmetika a její paralelní implementace. Byla vyvinuta rozsáhlá práce na vývoji aritmetických algoritmů SLI a jejich rozšíření na komplex a vektor aritmetické operace.

Definice

Myšlenkou systému indexů úrovní je představovat nezáporný reálné číslo $X$ tak jako

{ displaystyle X = e ^ {e ^ {e ^ { cdots ^ {e ^ {f}}}}}}

kde ${ displaystyle 0 leq f <1}$ a provádí se proces umocňování $ℓ$ krát, s ${ displaystyle ell geq 0}$ . $ℓ$ a $F$ jsou úroveň a index z $X$ resp. $X = ℓ + F$ je LI obraz $X$ . Například,

{ displaystyle X = 1234567 = e ^ {e ^ {e ^ {0.9711308}}}}

takže jeho obraz LI je

{ displaystyle x = ell + f = 3 + 0,9711308 = 3,9711308.}

Symetrický tvar se používá k povolení záporných exponentů, pokud je jejich velikost $X$ je menší než 1. Jeden bere $sgn (log (X))$ nebo $sgn (| X | - | X | -1)$ a uloží jej (po nahrazení +1 za 0 za reciproční znak od pro $X = 1 = E 0$ obrázek LI je $X = 1.0$ a jednoznačně definuje $X =1$ a můžeme se obejít bez třetího stavu a použít pouze jeden bit pro dva stavy −1 a +1) jako vzájemné znaménko $r X$ . Matematicky to odpovídá převzetí reciproční (multiplikativní inverzní) čísla s malou velikostí, a pak nalezení SLI obrazu pro reciproční. Použití jednoho bitu pro vzájemné znaménko umožňuje reprezentaci extrémně malých čísel.

A znamení bit lze také použít k povolení záporných čísel. Jeden bere sgn (X) a uloží ji (po nahrazení znaménka +1 znaménkem, protože pro $X = 0$ obrázek LI je $X = 0.0$ a jednoznačně definuje $X = 0$ a můžeme se obejít bez třetího stavu a použít jako znaménko pouze jeden bit pro dva stavy −1 a +1) $s X$ . Matematicky to odpovídá převzetí inverze (aditivní inverze) záporného čísla a následnému vyhledání obrázku SLI pro inverzi. Použití jednoho bitu pro znaménko umožňuje reprezentaci záporných čísel.

Funkce mapování se nazývá zobecněná logaritmická funkce. Je definován jako

{ displaystyle psi (X) = { begin {cases} X & { text {if}} 0 leq X <1 1+ psi ( ln X) & { text {if}} X geq 1 end {cases}}}

a mapuje to ${ displaystyle [0, infty)}$ monotónně na sebe a tak je v tomto intervalu invertibilní. Inverzní, zobecněná exponenciální funkce, je definováno

{ displaystyle varphi (x) = { begin {cases} x & { text {if}} 0 leq x <1 e ^ { varphi (x-1)} & { text {if}} x geq 1 end {cases}}}

Hustota hodnot $X$ reprezentováno $X$ při přechodu z úrovně nemá žádné diskontinuity $ℓ$ na $ℓ + 1$ (velmi žádaná vlastnost), protože:

{ displaystyle left. { frac {d varphi (x)} {dx}} right | _ {x = 1} = left. { frac {d varphi (e ^ {x})} { dx}} doprava | _ {x = 0}.}

Zobecněná logaritmická funkce úzce souvisí s iterovaný logaritmus používá se v počítačové analýze algoritmů.

Formálně můžeme definovat reprezentaci SLI pro libovolný reálný $X$ (ne 0 nebo 1) jako

{ displaystyle X = s_ {X} varphi (x) ^ {r_ {X}}}

kde $s X$ je znaménko (aditivní inverze či nikoli) $X$ a $r X$ je reciproční znaménko (multiplikativní inverze nebo ne) jako v následujících rovnicích:

{ displaystyle s_ {X} = operatorname {sgn} (X), , r_ {X} = operatorname {sgn} (| X | - | X | ^ {- 1}), , x = psi ( max (| X |, | X | ^ {- 1})) = psi (| X | ^ {r_ {X}})}

zatímco pro $X$ = 0 nebo 1, máme:

{ displaystyle s_ {0} = + 1, r_ {0} = + 1, x = 0,0, ,}

{ displaystyle s_ {1} = + 1, r_ {1} = + 1, x = 1,0. ,}

Například,

{ displaystyle X = - { dfrac {1} {1234567}} = - e ^ {- e ^ {e ^ {0.9711308}}}}

a jeho zastoupení SLI je

{ displaystyle x = - varphi (3.9711308) ^ {- 1}.}

Viz také

Reference

^ Clenshaw, Charles William; Olver, Frank William John (1984). "Za plovoucí desetinnou čárkou". Deník ACM. 31 (2): 319–328. doi:10.1145/62.322429.
^ Clenshaw, Charles William; Turner, Peter R. (01.10.1988) [16-09-16, 1987-06-04]. „Systém symetrických indexů úrovní“. IMA Journal of Numerical Analysis. Oxford University Press, Matematický ústav a jeho aplikace. 8 (4): 517–526. doi:10.1093 / imanum / 8.4.517. ISSN 0272-4979. OCLC 42026743. Citováno 2018-07-10.

Další čtení

Clenshaw, Charles William; Olver, Frank William John; Turner, Peter R. (1989). „Aritmetika indexu úrovně: Úvodní průzkum“. Numerická analýza a paralelní zpracování (Sborník z konference / The Lancaster Numerical Analysis Summer School 1987). Přednášky z matematiky (LNM). 1397: 95–168. doi:10.1007 / BFb0085718.
Clenshaw, Charles William; Turner, Peter R. (1989-06-23) [04.10.1988]. "Root kvadratura pomocí aritmetiky indexu úrovně". Výpočetní. Springer-Verlag. 43 (2): 171–185. ISSN 0010-485X.
Zehendner, Eberhard (léto 2008). „Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme“ (PDF) (Přednáškový scénář) (v němčině). Friedrich-Schiller-Universität Jena. 21–22. Archivováno (PDF) z původního dne 2018-07-09. Citováno 2018-07-09. [1]
Hayes, Brian (září – říjen 2009). „Vyšší aritmetika“. Americký vědec. 97 (5): 364–368. doi:10.1511/2009.80.364. Archivováno z původního dne 2018-07-09. Citováno 2018-07-09. [2]. Také přetištěno v: Hayes, Brian (2017). „Kapitola 8: Vyšší aritmetika“. Foolproof a další matematické meditace (1. vyd.). MIT Press. str. 113–126. ISBN 978-0-26203686-3. ISBN 0-26203686-X.

externí odkazy

sli-c-library (hostitelem Google Code), "C ++ implementace symetrické aritmetiky indexu úrovně".

[Clenshaw_1984-1] Clenshaw, Charles William; Olver, Frank William John (1984). "Za plovoucí desetinnou čárkou". Deník ACM. 31 (2): 319–328. doi:10.1145/62.322429.

[Clenshaw_1988-2] Clenshaw, Charles William; Turner, Peter R. (01.10.1988) [16-09-16, 1987-06-04]. „Systém symetrických indexů úrovní“. IMA Journal of Numerical Analysis. Oxford University Press, Matematický ústav a jeho aplikace. 8 (4): 517–526. doi:10.1093 / imanum / 8.4.517. ISSN 0272-4979. OCLC 42026743. Citováno 2018-07-10.

[1]

[2]