Littlewoodův polynom - Littlewood polynomial

Kořeny všech Littlenomových polynomů stupně 15.

v matematika, a Littlewoodův polynom je polynomiální všechny jejichž koeficienty jsou +1 nebo -1.Littlewoodův problém ptá se, jak velké musí být hodnoty takového polynomu na jednotkový kruh v složité letadlo. Odpověď na tuto otázku by přinesla informace o autokorelace binárních sekvencí. Jsou pojmenovány pro J. E. Littlewood kdo je studoval v padesátých letech.

Definice

Polynom

${displaystyle p (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i},}$

je Littlewoodův polynom pokud všechny ${displaystyle a_ {i} = odpoledne 1}$. Littlewoodův problém žádá o konstanty C₁ a C₂ takové, že existuje nekonečně mnoho polynomů Littlewoodu p_n , rostoucího stupně n uspokojující

${displaystyle c_ {1} {sqrt {n + 1}} leq | p_ {n} (z) | leq c_ {2} {sqrt {n + 1}}.,}$

pro všechny ${displaystyle z}$ na jednotkovém kruhu. The Rudin – Shapiro polynomy poskytnout posloupnost splňující horní hranici s ${displaystyle c_ {2} = {sqrt {2}}}$. V roce 2019 postavili Paul Balister, Béla Bollobás, Robert Morris, Julian Sahasrabudhe a Marius Tiba nekonečnou rodinu polynomů Littlewood splňujících horní i dolní mez.

Reference

• Peter Borwein (2002). Výpočtové exkurze v analýze a teorii čísel. CMS knihy z matematiky. Springer-Verlag. s. 2–5, 121–132. ISBN  0-387-95444-9.
• J.E. Littlewood (1968). Některé problémy v reálné a komplexní analýze. DC Heath.
• Balister, Paul; Bollobás, Béla; Morris, Robert; Sahasrabudhe, Julian; Tiba, Marius (2019). "Ploché Littlenomové polynomy existují". arXiv:1907.09464. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)