Seznam konečných trojrozměrných Nicholsových algeber - List of finite-dimensional Nichols algebras - Wikipedia

V matematice, a Nicholsova algebra je Hopfova algebra v pletená kategorie přiřazené k objektu PROTI v této kategorii (např pletený vektorový prostor ). Nichollova algebra je podílem tenzorová algebra z PROTI těší jisté univerzální vlastnictví a je obvykle nekonečně dimenzionální. Nicholsovy algebry se přirozeně objevují v jakékoli špičkové Hopfově algebře a umožnily jejich klasifikaci v důležitých případech.^[1] Nejznámějšími příklady Nicholsových algeber jsou Borel díly ${ displaystyle U_ {q} ({ mathfrak {g}}) ^ {+}}$ nekonečně-dimenzionální kvantové skupiny když q není kořenem jednoty a první příklady konečných trojrozměrných Nicholových algeber jsou Borel díly ${ displaystyle u_ {q} ({ mathfrak {g}}) ^ {+}}$ jádra Frobenius – Lusztig (malá kvantová skupina) když q je kořenem jednoty.

V následujícím článku jsou uvedeny všechny známé konečně-dimenzionální Nicholsovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ kde ${ displaystyle V}$ je Modul Yetter – Drinfel'd přes konečnou skupinu ${ displaystyle G}$, kde je skupina generována podporou ${ displaystyle V}$. Další informace o Nicholsových algebrách viz Nicholsova algebra.

• Existují dva hlavní případy:
  • ${ displaystyle G}$ abelian, což znamená ${ displaystyle V}$ je diagonálně pletená ${ displaystyle x_ {i} otimes x_ {j} mapsto q_ {ij} x_ {j} otimes x_ {i}}$.
  • ${ displaystyle G}$ nonabelian.
• The hodnost je počet neredukovatelných sčítání ${ displaystyle V = bigoplus _ {i v I} V_ {i}}$ v polojediném modulu Yetter – Drinfel'd ${ displaystyle V}$.
• The neredukovatelné sčítání ${ displaystyle V_ {i} = { mathcal {O}} _ {[g]} ^ { chi}}$ jsou každý spojen s a třída konjugace ${ displaystyle [g] podmnožina G}$ a neredukovatelné zastoupení ${ displaystyle chi}$ centralizátoru ${ displaystyle operatorname {cent} (g)}$.
• K jakékoli Nicholsově algebře existuje ^[2] připojený
  • zobecněný kořenový systém a Weylský grupoid. Jsou zařazeny do.^[3]
  • Zejména několik Dynkinových diagramů (pro nerovnoměrné typy Weylových komor). Každý Dynkinův diagram má jeden vrchol na jeden neredukovatelný ${ displaystyle V_ {i}}$ a hrany v závislosti na jejich spletených komutátorech v Nicholově algebře.
• The Hilbertova řada stupňované algebry ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ je dáno. Pozorování spočívá v tom, že se v každém případě rozdělí na polynomy ${ displaystyle (n) _ {t}: = 1 + t + t ^ {2} + cdots + t ^ {n-1}}$. Uvádíme pouze charakteristiku Hilbertovy řady a dimenze Nicholsovy algebry ${ displaystyle 0}$.

Všimněte si, že Nicholsova algebra závisí pouze na opleteném vektorovém prostoru ${ displaystyle V}$ a lze je tedy realizovat v mnoha různých skupinách. Někdy existují dvě nebo tři Nicholsovy algebry s různými ${ displaystyle V}$ a neizomorfní Nicholsova algebra, které spolu úzce souvisejí (např. vzájemné cyklické kroucení). Ty jsou dány různými třídami konjugace ve stejném sloupci.

Stav klasifikace

(od roku 2015)

Zjištěné výsledky klasifikace

• Konečněrozměrná úhlopříčka Nicholsovy algebry nad komplexními čísly byly Heckenbergerem klasifikovány v.^[4] Případem libovolné charakteristiky je pokračující práce Heckenbergera, Wanga.^[5]
• Konečně-dimenzionální Nicholsovy algebry polojednodušých modulů Yetter – Drinfel'd s hodnocením> 1 nad konečnými neaabelianskými skupinami (generovanými podporou) byly Heckenbergerem a Vendraminem klasifikovány v.^[6]

Negativní kritéria

Případ hodnosti 1 (neredukovatelný modul Yetter – Drinfel'd) nad neabelskou skupinou je stále do značné míry otevřený, je známo několik příkladů.

Andruskiewitsch a další dosáhli velkého pokroku v hledání subracků (například diagonálních), které by vedly k nekonečně dimenzionálním Nicholsovým algebrám. Jak 2015, známé skupiny ne připouští konečně-dimenzionální Nicholsovy algebry ^[7][8]

• pro střídavé skupiny ${ displaystyle mathbb {A} _ {n geq 5}}$ ^[9]
• pro symetrické skupiny ${ displaystyle mathbb {S} _ {n geq 6}}$ kromě krátkého seznamu příkladů^[9]
• nějaký skupina typu Lie jako většina ${ displaystyle PSL_ {n} ( mathbb {F} _ {q})}$^[10] a většina unipotentních tříd v ${ displaystyle Sp_ {2n} ( mathbb {F} _ {q})}$^[11]
• Všechno sporadické skupiny kromě krátkého seznamu možností (resp. tříd konjugace v notaci ATLAS), které jsou všechny skutečné, nebo j = 3-kvazireal:
  • ...pro Fisherova skupina ${ displaystyle Fi_ {22} ;}$ třídy ${ displaystyle 22A, 22B ;}$
  • ...pro dětská skupina příšer B třídy ${ Displaystyle 16C, ; 16D, ; 32A, ; 32B, ; 32C, ; 32D, ; 34A, ; 46A, ; 46B ;}$
  • ...pro skupina příšer M třídy ${ Displaystyle 32A, ; 32B, ; 46A, ; 46B, ; 92A, ; 92B, ; 94A, ; 94B ;}$

Obvykle velké množství tříd konjugace ae typu D („není dostatečně komutativní“), zatímco ostatní mají tendenci vlastnit dostatečné abelianské podskupiny a lze je podle jejich zvážení vyloučit. Několik případů je třeba provést ručně. Všimněte si, že otevřené případy mají tendenci mít velmi malé centralizátory (obvykle cyklické) a reprezentace χ (obvykle reprezentace 1-rozměrného znaménka). Významnými výjimkami jsou třídy konjugace řádu 16, 32 jako centralizátory p-skupiny objednávky 2048 resp. 128 a aktuálně žádná omezení χ.

Přes abelianské skupiny

Konečněrozměrná úhlopříčka Nicholsovy algebry nad komplexními čísly byly Heckenbergerem klasifikovány v ^[4] z hlediska opletení matice ${ displaystyle q_ {ij}}$, přesněji data ${ displaystyle q_ {ii}, q_ {ij} q_ {ji}}$. Malé kvantové skupiny ${ displaystyle u_ {q} ({ mathfrak {g}}) ^ {+}}$ jsou zvláštní případ ${ displaystyle q_ {ij} = q ^ {( alpha _ {i}, alpha _ {j})}}$, ale existuje několik výjimečných příkladů zahrnujících prvočísla 2,3,4,5,7.

V poslední době došlo k pokroku v chápání ostatních příkladů jako výjimečných Lieových algeber a superlehkých algeber v konečné charakteristice.

Nad neabelskou skupinou hodnost> 1

Nicholsovy algebry ze skupin Coxeter

Pro každý konečný systém coxeteru ${ displaystyle (W, S)}$ Nichollova algebra nad třídou konjugace odrazů byla studována v ^[12] (úvahy o kořenech různé délky nejsou konjugované, viz čtvrtý příklad kolegy). Objevili tímto způsobem následující první Nicholsovy algebry nad neabelskými skupinami:

Pořadí, typ kořenového systému ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {2}}$
Rozměr ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 3}$	${ displaystyle 6}$	${ displaystyle 10}$	${ displaystyle 2 + 2}$
Dimenze Nicholsovy algebry	${ displaystyle 12}$	${ displaystyle 576 ; = 24 ^ {2}}$	${ displaystyle 8294400}$	${ displaystyle 64}$
Hilbertova řada	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t}}$	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} ^ {2} (4) _ {t} ^ {2}}$	${ displaystyle (4) _ {t} ^ {4} (5) _ {t} ^ {2} (6) _ {t} ^ {4}}$	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {4} (2) _ {t ^ {2}} ^ {2}}$
Nejmenší realizující skupina	Symetrická skupina ${ displaystyle ; mathbb {S} _ {3}}$	Symetrická skupina ${ displaystyle ; mathbb {S} _ {4}}$	Symetrická skupina ${ displaystyle ; mathbb {S} _ {5}}$	Vzepětí skupina ${ displaystyle ; mathbb {D} _ {4}}$
... a hodiny konjugace	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(1234)} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1}, quad { mathcal {O }} _ {(12)} ^ {- 1 otimes operatorname {sgn}}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1 otimes operatorname {sgn}}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {b} ^ { epsilon} oplus { mathcal {O}} _ {a ^ {2} b} ^ { epsilon}, quad { mathcal {O }} _ {b} ^ {sgn} oplus { mathcal {O}} _ {a ^ {2} b} ^ {sgn}}$
Zdroj	[12]	[12][13]	[12][14]	[12]
Komentáře	Kirilov – Fominovy ​​algebry			Toto je nejmenší neabelovská Nichollova algebra 2. úrovně ${ displaystyle Gamma _ {2}}$ v klasifikaci.[6][15] Lze jej zkonstruovat jako nejmenší příklad nekonečné řady ${ displaystyle A_ {n}}$ z ${ displaystyle A_ {n} pohár A_ {n}}$viz.[16]

Pouzdro ${ displaystyle mathbb {S} _ {2} cong mathbb {Z} _ {2}}$ je úhlopříčka 1 podle Nicholsovy algebry ${ displaystyle u_ {i} (A_ {1}) ^ {+}}$ dimenze 2.

Další Nicholsovy algebry 1. úrovně

Pořadí, typ kořenového systému ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$	${ displaystyle A_ {1}}$
Rozměr ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 4}$	${ displaystyle 5}$	${ displaystyle 7}$
Dimenze Nicholsovy algebry	${ displaystyle 72}$	${ displaystyle 5,184}$	${ displaystyle 1 280}$	${ displaystyle 326 592}$
Hilbertova řada	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} (6) _ {t}}$	${ displaystyle (6) _ {t} ^ {4} (2) _ {t ^ {2}} ^ {2}}$	${ displaystyle (4) _ {t} ^ {4} (5) _ {t}}$	${ displaystyle (6) _ {t} ^ {6} (7) _ {t}}$
Nejmenší realizující skupina	Speciální lineární skupina ${ displaystyle SL_ {2} (3)}$ rozšíření střídavé skupiny ${ displaystyle mathbb {A} _ {4}}$		Afinní lineární skupina ${ displaystyle mathbb {Z} _ {5} rtimes mathbb {Z} _ {5} ^ { times}}$	Afinní lineární skupina ${ displaystyle mathbb {Z} _ {7} rtimes mathbb {Z} _ {7} ^ { times}}$
... a hodiny konjugace	${ displaystyle { mathcal {O}} _ { begin {pmatrix} -1 & 1 0 & -1 end {pmatrix}} ^ {- 1}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}} ^ { zeta _ {6}}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {i rtimes 2} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {i rtimes 3} ^ {- 1}}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {i rtimes 3} ^ {- 1}, quad { mathcal {O}} _ {i rtimes 5} ^ {- 1}}$
Zdroj	[17]	[18]	[13]
Komentáře	Existuje Nicholsova algebra 2. úrovně obsahující tuto Nicholsovu algebru	Pouze příklad s mnoha kubickými (ale ne mnoha kvadratickými) vztahy.	Affine regály

Nicholsovy algebry 2. úrovně, typ Gamma-3

Tyto Nicholsovy algebry byly objeveny během klasifikace Heckenbergera a Vendramina.^[19]

			pouze v charakteristice 2
Pořadí, typ kořenového systému ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle B_ {2}, B_ {2}}$	${ displaystyle B_ {2}, B_ {2}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & -2 - 2 & 2 end {pmatrix}}}$${ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & -2 - 1 & 2 end {pmatrix}}}$${ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & -4 - 1 & 2 end {pmatrix}}}$
Rozměr ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 3 + 2}$	${ displaystyle 3 + 1}$ resp. ${ displaystyle 3 + 2}$	${ displaystyle 3 + 1}$ resp. ${ displaystyle 3 + 2}$
Dimenze Nicholsovy algebry	${ Displaystyle 2 304}$	${ displaystyle 10,368}$	${ displaystyle 2,239,488}$
Hilbertova řada	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} cdot (2) _ {t} ^ {2}}$	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} cdot (6) _ {t}}$${ displaystyle cdot (2) _ {t ^ {2}} ^ {2} (3) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t ^ {3}} (6) _ {t ^ {3}}}$
Nejmenší realizující skupina a třída konjugace	${ displaystyle mathbb {S} _ {3} times mathbb {Z} _ {2}}$	${ displaystyle mathbb {S} _ {3} times mathbb {Z} _ {6}}$
... a hodiny konjugace	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1,1} oplus { mathcal {O}} _ { {z }} ^ {1, sigma _ {2} }}$	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1, zeta _ {6}} oplus { mathcal {O}} _ { {z }} ^ {1, zeta _ {6} ^ {- 1}}}$
Zdroj	[19]	[19]	[19]
Komentáře	Pouze příklad s 2-dimenzionální neredukovatelnou reprezentací ${ displaystyle sigma}$	Existuje Nichollova algebra 3. úrovně rozšiřující tuto Nicholovu algebru	Pouze v charakteristice 2. Má kořenový systém non-Lie typu se 6 kořeny.

Nichollova algebra typu 2 Gamma-4

Tato Nichollova algebra byla objevena během klasifikace Heckenbergera a Vendramina.^[19]

Kořenový systém	${ displaystyle B_ {2}}$
Rozměr ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 2 + 4}$
Dimenze Nicholsovy algebry	${ displaystyle 262,144 ; = 2 ^ {18}}$
Hilbertova řada	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (2) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t} ^ {4} (2) _ {t ^ {2}} ^ {2} cdot (2) _ {t ^ {2}} ^ {4} (2 ^ {2}) _ {t ^ {4}} ^ {2} cdot (2) _ {t ^ {3 }} ^ {2} (2) _ {t ^ {6}}}$
Nejmenší realizující skupina	${ displaystyle { tilde { mathbb {D}}} _ {8}}$ (semidihedrální skupina)
... a třída konjugace	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {[h]} ^ {- 1} oplus { mathcal {O}} _ {[g]} ^ { zeta _ {8}}}$
Komentáře	Obě pozice Nicholsovy algebry obsažené v této Nicholsově algebře se rozkládají nad jejich příslušnou podporou: Levý uzel k Nicholsově algebře nad skupinou Coxeter ${ displaystyle mathbb {D} _ {4}}$, pravý uzel k diagonální Nicholsově algebře typu ${ displaystyle A_ {2}}$.

Nicholsova algebra 2. úrovně, typ T.

Tato Nichollova algebra byla objevena během klasifikace Heckenbergera a Vendramina.^[19]

Kořenový systém	${ displaystyle G_ {2}}$
Rozměr ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 1 + 4}$
Dimenze Nicholsovy algebry	${ displaystyle 80 621 568}$
Hilbertova řada	${ displaystyle (6) _ {t} cdot (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} (6) _ {t} cdot (2) _ {t ^ {2}} ^ {2} (3) _ {t ^ {2}} (6) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t ^ {3}} ^ {2} (3) _ {t ^ {3}} (6) _ {t ^ {3}} cdot (6) _ {t ^ {4}} cdot (6) _ {t ^ {5}}}$
Nejmenší realizující skupina	${ displaystyle mathbb {Z} _ {6} krát SL_ {2} (3)}$
... a třída konjugace	${ displaystyle { mathcal {O}} _ { {z }} ^ { zeta _ {6}, zeta _ {6} ^ {- 1}} oplus { mathcal {O}} _ { begin {pmatrix} -1 & 1 0 & -1 end {pmatrix}} ^ {1, -1}}$
Komentáře	Nicholsova algebra 1. úrovně obsažená v této Nicholsově algebře je díky své podpoře neredukovatelná ${ displaystyle SL_ {2} (3)}$ a najdete je výše.

Nicholsova algebra 3. úrovně zahrnující Gamma-3

Tato Nicholsova algebra byla poslední Nicholsovou algebrou objevenou během klasifikace Heckenbergera a Vendramina.^[6]

Kořenový systém	3. místo Číslo 9 s 13 kořeny [3]
Rozměr ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 3 + 2 + 1}$ resp. ${ displaystyle 3 + 1 + 1}$
Dimenze Nicholsovy algebry	${ displaystyle 1 671 768 834 048}$
Hilbertova řada	${ displaystyle (2) _ {t} ^ {2} (3) _ {t} cdot (6) _ {t} cdot (6) _ {t} cdot (2) _ {t ^ {2 }} ^ {2} (3) _ {t ^ {2}} cdot (6) _ {t ^ {2}} cdot (2) _ {t ^ {3}} (6) _ {t ^ {3}} cdot (2) _ {t ^ {3}} ^ {2} (3) _ {t ^ {3}}}$${ displaystyle cdot (2) _ {t ^ {4}} (6) _ {t ^ {4}} cdot (2) _ {t ^ {5}} (6) _ {t ^ {5} } cdot (2) _ {t ^ {6}} ^ {2} (3) _ {t ^ {6}} cdot (6) _ {t ^ {7}} cdot (6) _ {t ^ {8}} cdot (6) _ {t ^ {9}}}$
Nejmenší realizující skupina	${ displaystyle mathbb {S} _ {3} times mathbb {Z} _ {6} times mathbb {Z} _ {6}}$
... a třída konjugace	${ displaystyle { mathcal {O}} _ {(12)} ^ {- 1, zeta _ {6}, 1} oplus { mathcal {O}} _ { {z }} ^ {1 , zeta _ {6} ^ {- 1}, 1} oplus { mathcal {O}} _ { {w }} ^ {1, zeta _ {6}, zeta _ {6} ^ {-1}}}$
Komentáře	Nicholsova algebra 2. úrovně vytvořená dvěma uzly nalevo je typu ${ displaystyle Gamma _ {3}}$ a najdete je výše. Nicholsova algebra 2. úrovně generovaná dvěma nejvíce napravými uzly má buď úhlopříčku typu ${ displaystyle A_ {2}}$ nebo ${ displaystyle A_ {3}}$.

Nicholsovy algebry ze skládání diagramů

Následující rodiny Nicholsových algeber byly postaveny Lentnerem pomocí skládání diagramů,^[16] čtvrtý příklad, který se objevil pouze v charakteristice 3, byl objeven během klasifikace Heckenbergera a Vendramina.^[6]

Stavba začíná známou Nichollovou algebrou (zde diagonální související s kvantovými skupinami) a dalším automorfismem Dynkinova diagramu. Tudíž dva hlavní případy jsou, zda si tento automorfismus vyměňuje dvě odpojené kopie, nebo je správným diagramem automorfismu připojeného Dynkinova diagramu. Výsledný kořenový systém je skládání / omezení původního kořenového systému.^[20] Konstrukčně jsou generátory a vztahy známy z úhlopříčky.

				pouze charakteristika 3
Pořadí, typ kořenového systému ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle A_ {n}, ; n geq 2}$	${ displaystyle D_ {n}, ; n geq 4}$	${ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}}$	${ displaystyle B_ {n}, ; n geq 2}$
Postaveno z této diagonální Nicholovy algebry s ${ displaystyle q_ {ij} = pm 1}$	${ displaystyle A_ {n} krát A_ {n}}$	${ displaystyle D_ {n} krát D_ {n}}$	${ displaystyle E_ {n} krát E_ {n}}$	${ displaystyle B_ {n} krát B_ {n}}$ v charakteristice 3.
Rozměr ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 2 + 2 + cdots}$
Dimenze Nicholsovy algebry	${ displaystyle left (2 ^ {n + 1 vyberte 2} vpravo) ^ {2}}$	${ displaystyle left (2 ^ {n (n-1)} right) ^ {2}}$	${ displaystyle left (2 ^ {36} right) ^ {2}, ; left (2 ^ {63} right) ^ {2}, ; left (2 ^ {120} right) ^ {2}}$	${ displaystyle left (3 ^ {n (n-1)} 2 ^ {n} right) ^ {2}}$
Hilbertova řada	Stejné jako příslušná diagonální Nicholsova algebra
Nejmenší realizující skupina	Extra speciální skupina (resp. téměř extraspecial) s ${ displaystyle 2 ^ {n + 1}}$ kromě toho ${ displaystyle D_ {n}, ; 2 | n}$ vyžaduje podobnou skupinu s větším středem objednávky ${ displaystyle 2 ^ {3}}$.
Zdroj	[16]			[6]
Komentáře				Pravděpodobně skládání diagonální Nicholsovy algebry typu ${ displaystyle B_ {n}}$ s ${ displaystyle q = pm 1}$ který se výjimečně objevuje v charakteristice 3.

Následující dva jsou získány správnými automatismy připojených Dynkinových diagramů ${ displaystyle {^ {2}} A_ {2n-1}, {^ {2}} E_ {6}}$

Pořadí, typ kořenového systému ${ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}$ [2]	${ displaystyle C_ {n}, ; n geq 3}$	${ displaystyle F_ {4}}$
Postaveno z této diagonální Nicholovy algebry s ${ displaystyle q_ {ij} = pm 1}$	${ displaystyle A_ {2n-1}}$	${ displaystyle E_ {6}}$
Rozměr ${ displaystyle V}$	${ displaystyle 1 + 2 + cdots}$	${ displaystyle 1 + 1 + 2 + 2}$
Dimenze Nicholsovy algebry	${ displaystyle 2 ^ {2n vyberte 2}}$	${ displaystyle 2 ^ {36} = 68 719 476 736}$
Hilbertova řada	Stejné jako příslušná diagonální Nicholsova algebra	Stejné jako příslušná diagonální Nicholsova algebra ${ displaystyle (2) _ {t} ^ {6} (2) _ {t ^ {2}} ^ {5} (2) _ {t ^ {3}} ^ {5} (2) _ {t ^ {4}} ^ {5} (2) _ {t ^ {5}} ^ {4} (2) _ {t ^ {6}} ^ {3}}$${ displaystyle cdot (2) _ {t ^ {7}} ^ {3} (2) _ {t ^ {8}} ^ {2} (2) _ {t ^ {9}} (2) _ {t ^ {10}} (2) _ {t ^ {11}}}$
Nejmenší realizující skupina	Skupina objednávky ${ displaystyle 2 ^ {n + 1}}$ s větším středem objednávky ${ displaystyle 2 ^ {2}}$ resp. ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ (pro ${ displaystyle n}$ dokonce resp. zvláštní)	Skupina objednávky ${ displaystyle 2 ^ {4 + 1}}$ s větším středem objednávky ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ tj. ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2} times mathbb {Z} _ {2} times mathbb {D} _ {4}}$
... a třída konjugace		${ displaystyle { mathcal {O}} _ { {z_ {1} }} oplus { mathcal {O}} _ { {z_ {2} }} oplus { mathcal {O}} _ {[x_ {1}]} oplus { mathcal {O}} _ {[y_ {1}]}}$
Zdroj	[16]

Všimněte si, že existuje několik dalších přehybů, například ${ displaystyle {^ {3}} D_ {4}, {^ {2}} D_ {n}}$ a také některé, které nejsou typu Lie, ale tyto porušují podmínku, že podpora generuje skupinu.

Plakát se všemi dosud známými algebry Nicholse

(Simon Lentner, University Hamburg, neváhejte napsat poznámky / opravy / přání v této věci: simon.lentner na uni-hamburg.de)

Reference