Cyklický podprostor - Cyclic subspace

v matematika, v lineární algebra a funkční analýza, a cyklický podprostor je určitá zvláštnost podprostor a vektorový prostor spojené s vektorem ve vektorovém prostoru a lineární transformace vektorového prostoru. Cyklický podprostor spojený s vektorem proti ve vektorovém prostoru PROTI a lineární transformace T z PROTI se nazývá T-cyklický podprostor generovaný proti. Koncept cyklického podprostoru je základní složkou při formulaci věty o cyklickém rozkladu v lineární algebře.

Definice

Nechat ${ displaystyle T: V rightarrow V}$ být lineární transformací vektorového prostoru ${ displaystyle V}$ a nechte ${ displaystyle v}$ být vektorem v ${ displaystyle V}$. The ${ displaystyle T}$-cyklický podprostor ${ displaystyle V}$ generováno uživatelem ${ displaystyle v}$ je podprostor ${ displaystyle W}$ z ${ displaystyle V}$ generovaný množinou vektorů ${ displaystyle {v, T (v), T ^ {2} (v), ldots, T ^ {r} (v), ldots }}$. Tento podprostor je označen ${ displaystyle Z (v; T)}$. V případě, kdy ${ displaystyle V}$ je topologický vektorový prostor, ${ displaystyle v}$ se nazývá a cyklický vektor pro ${ displaystyle T}$ -li ${ displaystyle Z (v; T)}$ je hustá v ${ displaystyle V}$. Pro konkrétní případ konečný rozměr mezery, to se rovná tomu, že to říkáte ${ displaystyle Z (v; T)}$ je celý prostor ${ displaystyle V}$.^[1]

Existuje další ekvivalentní definice cyklických prostorů. Nechat ${ displaystyle T: V rightarrow V}$ být lineární transformací topologického vektorového prostoru přes a pole ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle v}$ být vektorem v ${ displaystyle V}$. Sada všech vektorů formuláře ${ displaystyle g (T) v}$, kde ${ displaystyle g (x)}$ je polynomiální v prsten ${ displaystyle F [x]}$ všech polynomů v ${ displaystyle x}$ přes ${ displaystyle F}$, je ${ displaystyle T}$-cyklický podprostor generovaný ${ displaystyle v}$.^[1]

Podprostor ${ displaystyle Z (v; t)}$ je invariantní podprostor pro ${ displaystyle T}$, V tom smyslu, že ${ displaystyle TZ (v; T) podmnožina Z (v; t)}$.

Příklady

1. Pro jakýkoli vektorový prostor ${ displaystyle V}$ a jakýkoli lineární operátor ${ displaystyle T}$ na ${ displaystyle V}$, ${ displaystyle T}$-cyklický podprostor generovaný nulovým vektorem je nulovým podprostorem ${ displaystyle V}$.
2. Li ${ displaystyle I}$ je operátor identity pak každý ${ displaystyle I}$-cyklický podprostor je jednorozměrný.
3. ${ displaystyle Z (v; T)}$ je jednorozměrný právě tehdy ${ displaystyle v}$ je charakteristický vektor (vlastní vektor) z ${ displaystyle T}$.
4. Nechat ${ displaystyle V}$ být dvourozměrný vektorový prostor a nechat ${ displaystyle T}$ být lineárním operátorem ${ displaystyle V}$ představuje matice ${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}}}$ ve vztahu ke standardnímu objednanému základu ${ displaystyle V}$. Nechat ${ displaystyle v = { begin {bmatrix} 0 1 end {bmatrix}}}$. Pak ${ displaystyle Tv = { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}}, quad T ^ {2} v = 0, ldots, T ^ {r} v = 0, ldots}$. Proto ${ displaystyle {v, T (v), T ^ {2} (v), ldots, T ^ {r} (v), ldots } = left {{ begin {bmatrix} 0 1 end {bmatrix}}, { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}} right }}$ a tak ${ displaystyle Z (v; T) = V}$. Tím pádem ${ displaystyle v}$ je cyklický vektor pro ${ displaystyle T}$.

Doprovodná matice

Nechat ${ displaystyle T: V rightarrow V}$ být lineární transformací a ${ displaystyle n}$-dimenzionální vektorový prostor ${ displaystyle V}$ přes pole ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle v}$ být cyklický vektor pro ${ displaystyle T}$. Pak vektory

${ displaystyle B = {v_ {1} = v, v_ {2} = tv, v_ {3} = T ^ {2} v, ldots v_ {n} = T ^ {n-1} v } }$

tvoří objednaný základ pro ${ displaystyle V}$. Nechť charakteristický polynom pro ${ displaystyle T}$ být

${ displaystyle p (x) = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + cdots + c_ {n-1} x ^ {n-1} + x ^ {n }}$.

Pak

${ displaystyle { begin {aligned} Tv_ {1} & = v_ {2} Tv_ {2} & = v_ {3} Tv_ {3} & = v_ {4} vdots & Tv_ {n-1} & = v_ {n} Tv_ {n} & = - c_ {0} v_ {1} -c_ {1} v_ {2} - cdots c_ {n-1} v_ {n } end {zarovnáno}}}$

Proto ve vztahu k objednanému základu ${ displaystyle B}$, operátor ${ displaystyle T}$ je reprezentován maticí

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & -c_ {0} 1 & 0 & 0 & ldots & 0 & -c_ {1} 0 & 1 & 0 & ldots & 0 & -c_ {2} vdots &&&&& 0 & 0 & 0 & ldots & 1 & -c_ {n-1} end {bmatrix}}}$

Tato matice se nazývá doprovodná matice polynomu ${ displaystyle p (x)}$.^[1]

Viz také

• Doprovodná matice
• Krylovský podprostor

externí odkazy

• PlanetMath: cyklický podprostor

Reference