Interpretace (teorie modelů) - Interpretation (model theory)

v teorie modelů, výklad a struktura M v jiné struktuře N (obvykle jiného podpis ) je technický pojem, který přibližuje myšlenku reprezentace M uvnitř N. Například každý redukovat nebo definitivní rozšíření struktury N má tlumočení v N.

Mnoho model-teoretické vlastnosti jsou zachovány pod interpretovatelnosti. Například pokud teorie N je stabilní a M je interpretovatelný v N, pak teorie M je také stabilní.

Definice

An výklad z M v N s parametry (nebo bez parametrů) je pár ${ displaystyle (n, f)}$ kden je přirozené číslo a ${ displaystyle f}$ je surjektivní mapa z podmnožinyNⁿ na Mtakové, že ${ displaystyle f}$-preimage (přesněji ${ displaystyle f ^ {k}}$-preimage) každé sady X ⊆ M^k definovatelný v M podle a vzorec prvního řádu bez parametrů je definovatelný (v N) vzorcem prvního řádu s parametry (nebo bez parametrů). Od hodnoty n pro výklad ${ displaystyle (n, f)}$ je často zřejmé z kontextu, mapy ${ displaystyle f}$ sám o sobě se také nazývá výklad.

Chcete-li ověřit, že předobraz všech definovatelných (bez parametrů) nastavených v M je definovatelný v N (s parametry nebo bez), stačí zkontrolovat preimages následujících definovatelných sad:

• doména M;
• the úhlopříčka z M;
• každý vztah v podpisu M;
• the graf každé funkce v podpisu M.

v teorie modelů termín definovatelný často odkazuje na definovatelnost pomocí parametrů; pokud se použije tato konvence, definovatelnost bez parametrů je vyjádřena termínem 0-definovatelné. Podobně lze interpretaci s parametry nazvat jednoduše interpretací a interpretaci bez parametrů jako a 0 interpretace.

Bi-interpretovatelnost

Li L, M a N jsou tři struktury, L je interpretován v M,a M je interpretován v N, pak lze přirozeně vytvořit souhrnnou interpretaci L v N.Pokud dvě struktury M a N jsou interpretovány navzájem, pak kombinací interpretací dvěma možnými způsoby se získá interpretace každé ze dvou struktur sama o sobě. Toto pozorování umožňuje definovat vztah ekvivalence mezi strukturami, připomínající homotopická ekvivalence mezi topologickými prostory.

Dvě struktury M a N jsou bi-interpretovatelný pokud existuje výklad M v N a výklad N v M takové, že složené interpretace M sama o sobě a N samy o sobě jsou definovatelné v M a v N, (kompozitní interpretace, které jsou považovány za operace na M a dál N).

Příklad

Částečná mapa F z Z × Z na Q které mapy (X, y) až X/y -li y ≠ 0 poskytuje interpretaci pole Q racionálních čísel v kruhu Z celých čísel (přesněji řečeno, interpretace je (2,F)). Ve skutečnosti je tento konkrétní výklad často zvyklý definovat racionální čísla. Abychom viděli, že se jedná o interpretaci (bez parametrů), je třeba zkontrolovat následující preimages definovatelných množin v Q:

• preimage of Q je definován vzorcem φ (X, y) dané ¬ (y = 0);
• předobraz úhlopříčky Q je definován vzorcem φ (X₁, y₁, X₂, y₂) dána X₁ × y₂ = X₂ × y₁;
• preimages 0 a 1 jsou definovány vzorci φ (X, y) dána X = 0 a X = y;
• preimage grafu přidání je definován vzorcem φ (X₁, y₁, X₂, y₂, X₃, y₃) dána X₁×y₂×y₃ + X₂×y₁×y₃ = X₃×y₁×y₂;
• preimage grafu násobení je definován vzorcem φ (X₁, y₁, X₂, y₂, X₃, y₃) dána X₁×X₂×y₃ = X₃×y₁×y₂.

Reference

• Ahlbrandt, Gisela; Ziegler, Martin (1986), „Kvazi konečně axiomatizovatelné, naprosto kategorické teorie“, Annals of Pure and Applied Logic, 30: 63–82, doi:10.1016/0168-0072(86)90037-0^{[mrtvý odkaz ]}
• Hodges, Wilfrid (1997), Kratší teorie modelů, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-58713-6 (Část 4.3)
• Poizat, Bruno (2000), Kurz teorie modelů, Springer, ISBN  978-0-387-98655-5 (Oddíl 9.4)