Hyperbolický rovnovážný bod - Hyperbolic equilibrium point

Ve studii o dynamické systémy, a hyperbolický rovnovážný bod nebo hyperbolický pevný bod je pevný bod který žádný nemá středové rozdělovače. Poblíž a hyperbolický namířit oběžné dráhy dvojrozměrného, nedisipativní systém připomíná hyperboly. To obecně neplatí. Strogatz konstatuje, že „hyperbolické je nešťastné jméno - zní to, jako by to mělo znamenat“sedlový bod „- ale stalo se standardem.“^[1] Několik vlastností se týká okolí hyperbolického bodu, zejména^[2]

Dráhy poblíž dvourozměrného sedlového bodu, příklad hyperbolické rovnováhy.

• A stabilní potrubí a existuje nestabilní potrubí,
• Stínování nastane,
• Dynamika invariantní množiny může být reprezentována pomocí symbolická dynamika,
• Lze definovat přirozenou míru,
• Systém je strukturálně stabilní.

Mapy

Li ${displaystyle Tcolon mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}$ je C¹ mapa a p je pevný bod pak p se říká, že je hyperbolický pevný bod když Jacobian matrix ${displaystyle operatorname {D} T (p)}$ nemá žádný vlastní čísla na jednotkový kruh.

Jeden příklad a mapa jehož jediný pevný bod je hyperbolický je Arnoldova kočka mapa:

${displaystyle {egin {bmatrix} x_ {n + 1} y_ {n + 1} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 1 & 1 1 & 2end {bmatrix}} {egin {bmatrix} x_ {n} y_ { n} konec {bmatrix}}}$

Protože vlastní čísla jsou dána

${displaystyle lambda _ {1} = {frac {3+ {sqrt {5}}} {2}}}$

${displaystyle lambda _ {2} = {frac {3- {sqrt {5}}} {2}}}$

Víme, že Lyapunovovy exponenty jsou:

${displaystyle lambda _ {1} = {frac {ln (3+ {sqrt {5}})} {2}}> 1}$

${displaystyle lambda _ {2} = {frac {ln (3- {sqrt {5}})} {2}} <1}$

Jedná se tedy o sedlový bod.

Proudí

Nechat ${displaystyle Fcolon mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}$ být C¹ vektorové pole s kritickým bodem p, tj., F(p) = 0, a nechat J označit Jacobian matrix z F na p. Pokud je matice J nemá tedy vlastní čísla s nulovými skutečnými částmi p je nazýván hyperbolický. Lze také volat hyperbolické pevné body hyperbolické kritické body nebo základní kritické body.^[3]

The Hartmanova-Grobmanova věta uvádí, že oběžná struktura dynamického systému v a sousedství hyperbolického rovnovážného bodu je topologicky ekvivalentní ke struktuře oběžné dráhy linearizovaný dynamický systém.

Příklad

Zvažte nelineární systém

${displaystyle {egin {aligned} {frac {dx} {dt}} & = y, [5pt] {frac {dy} {dt}} & = - xx ^ {3} -alpha y, ~ alpha eq 0end { zarovnaný}}}$

(0, 0) je jediný rovnovážný bod. Linearizace v rovnováze je

${displaystyle J (0,0) = left [{egin {array} {rr} 0 & 1 -1 & -alpha end {array}} ight].}$

Vlastní čísla této matice jsou ${displaystyle {frac {-alpha pm {sqrt {alpha ^ {2} -4}}} {2}}}$. Pro všechny hodnoty α ≠ 0, vlastní čísla mají nenulovou skutečnou část. Tento rovnovážný bod je tedy hyperbolickým rovnovážným bodem. Linearizovaný systém se bude chovat podobně jako nelineární systém poblíž (0, 0). Když α = 0, systém má nehyperbolickou rovnováhu v (0, 0).

Komentáře

V případě nekonečného dimenzionálního systému - například systémů zahrnujících časové zpoždění - se pojem „hyperbolická část spektra“ týká výše uvedené vlastnosti.

Viz také

• Anosovův tok
• Hyperbolická sada
• Normálně hyperbolický invariantní potrubí

Poznámky

Reference

• Eugene M. Izhikevich (ed.). "Rovnováha". Scholarpedia.