Hyperbolická sada - Hyperbolic set
v teorie dynamických systémů, podmnožina Λ a hladké potrubí M říká se, že má hyperbolická struktura s ohledem na a hladká mapa F Pokud je to tečný svazek lze rozdělit na dva invariantní podskupiny, z nichž jeden uzavírá smlouvy a druhý expanduje pod F, s ohledem na některé Riemannova metrika na M. Obdobná definice platí pro případ proudí.
Ve zvláštním případě, kdy je celé potrubí M je hyperbolický, mapa F se nazývá Anosov difeomorfismus. Dynamika F na hyperbolické množině, nebo hyperbolická dynamika, vykazuje rysy místních strukturální stabilita a bylo hodně studováno, srov. Axiom A.
Definice
Nechat M být kompaktní hladké potrubí, F: M → M A difeomorfismus, a Df: TM → TM the rozdíl z F. An F-invariantní podmnožina Λ z M se říká, že je hyperbolický, nebo mít hyperbolická struktura, pokud omezení na Λ tangenta svazku M připouští rozdělení na Whitney součet ze dvou Df-invariantní podskupiny, nazývané stabilní svazek a nestabilní svazek a označil Es a Eu. S ohledem na některé Riemannova metrika na M, omezení Df na Es musí být kontrakce a omezení Df na Eu musí to být expanze. Existují tedy konstanty 0 <λ<1 a C> 0 takových
a
- a pro všechny
a
- pro všechny a
a
- pro všechny a .
Pokud je hyper hyperbolický, pak existuje Riemannova metrika, pro kterou C = 1 - taková metrika se nazývá přizpůsobeno.
Příklady
- Hyperbolický rovnovážný bod str je pevný bod nebo rovnovážný bod F, takový, že (Df)str nemá žádný vlastní číslo s absolutní hodnota 1. V tomto případě Λ = {str}.
- Obecněji, a periodická oběžná dráha z F s tečkou n je hyperbolický právě tehdy Dfn v kterémkoli bodě oběžné dráhy nemá vlastní hodnotu s absolutní hodnotou 1 a stačí tuto podmínku zkontrolovat v jediném bodě oběžné dráhy.
Reference
- Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Základy mechaniky. Mše na čtení .: Benjamin / Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
- Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002). Úvod do dynamických systémů. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3.
Tento článek včlení materiál z Hyperbolic Set on PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.