Hadamardova nerovnost - Hadamards inequality - Wikipedia

v matematika, Hadamardova nerovnost (také známý jako Hadamardova věta o determinantech^[1]) je výsledek, který nejprve publikoval Jacques Hadamard v roce 1893.^[2] Je vázán na určující a matice jejichž záznamy jsou komplexní čísla pokud jde o délky jeho sloupcových vektorů. Z geometrického hlediska, když je omezen na reálná čísla, ohraničuje objem v Euklidovský prostor z n rozměry vyznačeny n vektory proti_i pro 1 ≤ i ≤ n pokud jde o délky těchto vektorů ||proti_i||.

Konkrétně Hadamardova nerovnost uvádí, že pokud N je matice mající sloupce^[3] proti_i, pak

${ displaystyle left | det (N) right | leq prod _ {i = 1} ^ {n} | v_ {i} |.}$

Jsou-li n vektory nenulové, dosáhne se rovnosti v Hadamardově nerovnosti právě tehdy, pokud jsou vektory ortogonální.

Alternativní formy a důsledky

Důsledkem je, že pokud záznamy z n podle n matice N jsou ohraničeny B, takže |N_ij|≤B pro všechny i a j, pak

${ displaystyle left | det (N) right | leq B ^ {n} n ^ {n / 2}.}$

Zejména pokud jsou záznamy z N pouze +1 a -1^[4]

${ displaystyle left | det (N) right | leq n ^ {n / 2}.}$

v kombinatorika, matice N pro které platí rovnost, tj. ty s ortogonálními sloupy, se nazývají Hadamardovy matice.

A kladně semidefinitní matice P lze psát jako N^*N, kde N^* označuje konjugovat transponovat z N (vidět Choleský rozklad ). Pak

${ displaystyle det (P) = det (N) ^ {2} leq prod _ {i = 1} ^ {n} | v_ {i} | ^ {2} = prod _ {i = 1} ^ {n} p_ {ii}.}$

Takže determinant a pozitivní určitá matice je menší nebo roven součinu jeho diagonálních položek. Někdy se tomu říká také Hadamardova nerovnost.^[2][5]

Důkaz

Výsledek je triviální, pokud je matice N jednotné číslo, tak předpokládejme, že sloupce N jsou lineárně nezávislé. Vydělením každého sloupce jeho délkou lze vidět, že výsledek je ekvivalentní speciálnímu případu, kde každý sloupec má délku 1, jinými slovy pokud E_i jsou jednotkové vektory a M je matice mající E_i jako sloupce

${ displaystyle left | det M right | leq 1,}$

(1)

a rovnosti je dosaženo právě tehdy, jsou-li vektory ortogonální sada, to je, když je matice unitární. Následuje obecný výsledek:

${ displaystyle left | det N right | = { bigg (} prod _ {i = 1} ^ {n} | v_ {i} | { bigg)} left | det M vpravo | leq prod _ {i = 1} ^ {n} | v_ {i} |.}$

Dokázat (1), zvážit P =M^*M a nechte vlastní čísla P být λ₁, λ₂,… Λ_n. Vzhledem k délce každého sloupce M je 1, každý záznam v úhlopříčce P je 1, takže stopa z P je n. Uplatnění nerovnost aritmetických a geometrických prostředků,

${ displaystyle det P = prod _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} leq { bigg (} {1 over n} součet _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} { bigg)} ^ {n} = left ({1 over n} operatorname {tr} P right) ^ {n} = 1 ^ {n} = 1,}$

tak

${ displaystyle left | det M right | = { sqrt { det P}} leq 1.}$

Pokud existuje rovnost, pak každý z λ_iMusí být všichni rovni a jejich součet je n, takže musí být všechny 1. Matice P je Hermitian, tedy diagonalizovatelný, takže je to matice identity - jinými slovy sloupce M jsou ortonormální množina a sloupce N jsou ortogonální množina.^[6] Mnoho dalších důkazů lze najít v literatuře.^[7]

Viz také

• Fischerova nerovnost

Poznámky

Reference

• Maz'ya, Vladimir; Shaposhnikova, T. O. (1999). Jacques Hadamard: Univerzální matematik. AMS. 383ff. ISBN  0-8218-1923-2.
• Garling, D. J. H. (2007). Nerovnosti: Cesta do lineární analýzy. Cambridge. str.233. ISBN  978-0-521-69973-0.
• Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Funkční analýza. Doveru. str. 176. ISBN  0-486-66289-6.
• Weisstein, Eric W. „Hadamardova nerovnost“. MathWorld.

Další čtení

• Beckenbach, Edwin F; Bellman, Richard Ernest (1965). Nerovnosti. Springer. str. 64.