Fischerova nerovnost - Fischers inequality - Wikipedia

v matematika, Fischerova nerovnost dává horní mez pro určující a kladně semidefinitní matice jehož vstupy jsou komplexní čísla, pokud jde o determinanty jeho hlavních diagonálních bloků. Předpokládat A, C jsou příslušně p×p, q×q kladně semidefinitní komplexní matice a B je p×q komplexní matice

${ displaystyle M: ​​= left [{ begin {matrix} A&B B ^ {*} & C end {matrix}} right]}$

aby M je (p+q)×(p+q) matice.

Pak to říká Fischerova nerovnost

${ displaystyle det (M) leq det (A) det (C).}$

Li M je kladně definitivní, rovnosti je dosaženo ve Fischerově nerovnosti právě tehdy, když jsou všechny položky z B jsou 0. Indukčně lze usoudit, že podobná nerovnost platí pro blokový rozklad M s několika hlavními úhlopříčnými bloky. Vzhledem k blokům 1 × 1 je důsledkem Hadamardova nerovnost.

Důkaz

Předpokládat, že A a C jsou kladně definitivní. My máme ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ a ${ displaystyle C ^ {- 1}}$ jsou kladně definitivní. Nechat

${ displaystyle D: = left [{ begin {matrix} A & 0 0 & C end {matrix}} right].}$

Poznamenáváme to

${ displaystyle D ^ {- { frac {1} {2}}} MD ^ {- { frac {1} {2}}} = left [{ begin {matrix} A ^ {- { frac {1} {2}}} & 0 0 & C ^ {- { frac {1} {2}}} end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} A&B B ^ { *} & C end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} A ^ {- { frac {1} {2}}} & 0 0 & C ^ {- { frac {1} { 2}}} end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} I_ {p} & A ^ { frac {1} {2}} BC ^ {- { frac {1} { 2}}} C ^ {- { frac {1} {2}}} B ^ {*} A ^ {- { frac {1} {2}}} a I_ {q} end {matrix} }že jo]}$

Uplatnění Nerovnost AM-GM na vlastní čísla ${ displaystyle D ^ {- { frac {1} {2}}} MD ^ {- { frac {1} {2}}}}$, vidíme

${ displaystyle det (D ^ {- { frac {1} {2}}} MD ^ {- { frac {1} {2}}}) leq left ({1 over p + q} mathrm {tr} (D ^ {- { frac {1} {2}}} MD ^ {- { frac {1} {2}}}) right) ^ {p + q} = 1 ^ { p + q} = 1.}$

Násobením určující, my máme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} det (D ^ {- { frac {1} {2}}}) det (M) det (D ^ {- { frac {1} {2}} }) leq 1 Longrightarrow det (M) leq det (D) = det (A) det (C). end {zarovnáno}}}$

V tomto případě platí rovnost právě tehdy M = D tj. všechny položky z B jsou 0.

Pro ${ displaystyle varepsilon> 0}$, tak jako ${ displaystyle A + varepsilon I_ {p}}$ a ${ displaystyle C + varepsilon I_ {q}}$ jsou kladně definitivní, máme

${ displaystyle det (M + varepsilon I_ {p + q}) leq det (A + varepsilon I_ {p}) det (C + varepsilon I_ {q}).}$

Vezmeme-li limit jako ${ displaystyle varepsilon rightarrow 0}$ dokazuje nerovnost. Z nerovnosti si povšimneme, že pokud M je invertibilní, pak oba A a C jsou invertibilní a dostaneme požadovanou podmínku rovnosti.

Vylepšení

Li M lze rozdělit na čtvercové bloky M_ij, pak platí následující nerovnost od Thompsona:^[1]

${ displaystyle det (M) leq det ([ det (M_ {ij})])}}$

kde [det (M_ij)] je matice, jejíž (i,j) položka je det (M_ij).

Zejména pokud blok matice B a C jsou také čtvercové matice, pak platí následující nerovnost od Everetta:^[2]

${ Displaystyle det (M) leq det { begin {bmatrix} det (A) && det (B) det (B ^ {*}) && det (D) end {bmatrix }}}$

Thompsonovu nerovnost lze také zobecnit nerovností, pokud jde o koeficienty charakteristický polynom blokových matic. Vyjádření charakteristického polynomu matice A tak jako

${ displaystyle p_ {A} (t) = součet _ {k = 0} ^ {n} t ^ {nk} (- 1) ^ {k} operatorname {tr} ( Lambda ^ {k} A) }$

a předpokládejme, že bloky M_ij jsou m X m matice platí následující nerovnost Lin a Zhang:^[3]

${ displaystyle det (M) leq left ({ frac { det ([ operatorname {tr} ( Lambda ^ {r} M_ {ij}]))}} { binom {m} {r} }} vpravo) ^ { frac {m} {r}}, quad r = 1, ldots, m}$

Všimněte si, že pokud r = m, pak je tato nerovnost totožná s Thompsonovou nerovností.

Viz také

• Hadamardova nerovnost

Poznámky

Reference

• Fischer, Ernst (1907), „Über den Hadamardschen Determinentsatz“, Oblouk. Matematika. U. Phys. (3), 13: 32–40.
• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2012), Maticová analýza, doi:10.1017 / cbo9781139020411, ISBN  9781139020411.