Nerovnost Hermit – Hadamard - Hermite–Hadamard inequality

v matematika, Nerovnost poustevník – hadamard, pojmenoval podle Charles Hermite a Jacques Hadamard a někdy také volal Hadamardova nerovnost, uvádí, že pokud funkce ƒ: [A, b] → R je konvexní, pak platí následující řetězec nerovností:

${ displaystyle f left ({ frac {a + b} {2}} right) leq { frac {1} {ba}} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx leq { frac {f (a) + f (b)} {2}}.}$

Nerovnost byla zobecněna na vyšší dimenze: pokud ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ je ohraničená, konvexní doména a ${ displaystyle f: Omega rightarrow mathbb {R}}$ je tedy pozitivní konvexní funkce

${ displaystyle { frac {1} {| Omega |}} int _ { Omega} f (x) , dx leq { frac {c_ {n}} {| částečné Omega |}} int _ { částečné Omega} f (y) , d sigma (y)}$

kde ${ displaystyle c_ {n}}$ je konstanta závislá pouze na dimenzi.

Důsledek integrálů typu Vandermonde

tento článek potřebuje pozornost odborníka na matematiku. Specifický problém je: Tato část není o hlavním tématu tohoto článku. Viz diskusní stránka pro detaily. Matematika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Července 2018)

Předpokládejme to −∞ < A < b < ∞a vyberte n odlišné hodnoty {X_j}ⁿ
_j=1 z (A, b). Nechat F:[A, b] → ℝ být konvexní a nechat Já označit "integrál od A"operátor; to je

${ displaystyle (If) (x) = int _ {a} ^ {x} {f (t) , dt}}$.

Pak

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {(I ^ {n-1} F) (x_ {i})} { prod _ {j neq i} {(x_ { i} -x_ {j})}}} leq { frac {1} {n!}} sum _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i})}$

Rovnost platí pro všechny {X_j}ⁿ
_j=1 iff F je lineární a pro všechny F iff {X_j}ⁿ
_j=1 je konstantní v tom smyslu

${ displaystyle lim _ { {x_ {j} } _ {j} to alpha} { sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {(I ^ {n-1} F ) (x_ {i})} { prod _ {j neq i} {(x_ {i} -x_ {j})}}}} = = { frac {f ( alpha)} {(n-1 )!}}}$

Výsledek vyplývá z indukce n.

Reference

• Jacques Hadamard „Étude sur les propriétés des fonty entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann ", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, svazek 58, 1893, strany 171–215.
• Zoltán Retkes, „Rozšíření Hermitova – Hadamarda Nerovnost ", Acta Sci. Matematika. (Segedín), 74 (2008), strany 95–106.
• Mihály Bessenyei, „Poustevník – Hadamard Nerovnost na Zjednodušení ", Americký matematický měsíčník, svazek 115, duben 2008, strany 339–345.
• Flavia-Corina Mitroi, Eleutherius Symeonidis, „Konverzace nerovnosti Hermite-Hadamard na jednoduchostech“, Expo. Matematika. 30 (2012), s. 389–396. doi:10.1016 / j.exmath.2012.08.011; ISSN  0723-0869
• Stefan Steinerberger, Hermitova-Hadamardova nerovnost ve vyšších dimenzích, The Journal of Geometric Analysis, 2019.