Grothendieckův stopový vzorec - Grothendieck trace formula - Wikipedia

v algebraická geometrie, Grothendieckův stopový vzorec vyjadřuje počet bodů a odrůda přes konečné pole z hlediska stopa z Frobeniova endomorfismus na jeho kohomologické skupiny. Existuje několik zevšeobecnění: Frobeniova endomorfismus může být nahrazen obecnějším endomorfismem, přičemž v takovém případě jsou body nad konečným polem nahrazeny jeho pevnými body a existuje také obecnější verze pro snop přes odrůdu, kde jsou kohomologické skupiny nahrazeny kohomologií s koeficienty v snopu.

Trasovací vzorec Grothendieck je analogem v algebraické geometrii Lefschetzova věta o pevném bodě v algebraická topologie.

Jednou z aplikací vzorce Grothendieckovy stopy je vyjádření funkce zeta odrůdy přes konečné pole, nebo obecněji Řada L. svazku, jako součet nad stopami Frobeniuse na kohomologických skupinách. Toto je jeden z kroků použitých v dokladu o Weil dohady.

Behrendův stopový vzorec zobecňuje vzorec na algebraické komíny.

Formální prohlášení pro L-funkce

Nechat k být konečným polem, l A prvočíslo invertibilní v k, X A hladký k-systém dimenze n, a ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ A konstruovatelný ${ displaystyle mathbb {Q} _ {l}}$-snop na X. Pak následující cohomologický výraz pro L-funkce z ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ drží:

${ displaystyle L (X, { mathcal {F}}, t) = prod _ {i = 0} ^ {2n} operatorname {det} (1-t cdot F , , | , , H_ {c} ^ {i} (X _ { bar {k}}, { mathcal {F}})) ^ {(- 1) ^ {i + 1}} = { frac { operatorname {det } (1-t cdot F , , | , , H_ {c} ^ {1} (X _ { bar {k}}, { mathcal {F}})) ldots operatorname {det } (1-t cdot F , , | , , H_ {c} ^ {2n-1} (X _ { bar {k}}, { mathcal {F}}))}} { operatorname {det} (1-t cdot F , , | , , H_ {c} ^ {0} (X _ { bar {k}}, { mathcal {F}})) ldots operatorname {det} (1-t cdot F , , | , , H_ {c} ^ {2n} (X _ { bar {k}}, { mathcal {F}}))}}}$

kde F je všude a geometrický Frobenius akce na l- adic cohomology s kompaktními podpěrami svazku ${ displaystyle { mathcal {F}}}$. Brát logaritmické deriváty oba formální mocenské řady vytvoří prohlášení o součtu stop pro každou konečnou rozšíření pole E základního pole k:

${ displaystyle sum _ {x v X (E)} operatorname {tr} (F_ {E} , , | , , { mathcal {F}} _ {x}) = sum _ {i = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {i} operatorname {tr} (F_ {E} , , | , , H_ {c} ^ {i} (X _ { bar { k}}, { mathcal {F}}))}$

Pro stálý svazek ${ displaystyle mathbb {Q} _ {l}}$ (zobrazeno jako ${ displaystyle ( varprojlim mathbb {Z} / l ^ {n} mathbb {Z}) otimes mathbb {Q}}$ kvalifikovat se jako l-adic sheaf) na levé straně tohoto vzorce je počet E-bodů X.

Reference

• Deligne, Pierre (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4½). Přednášky z matematiky (ve francouzštině). 569. Berlín; New York: Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0091516. ISBN  978-3-540-08066-4.
• Grothendieck, Alexander (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5). Přednášky z matematiky (ve francouzštině). 589. Berlín; New York: Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0096802. ISBN  3-540-08248-4.
• Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Étaleova kohomologie a Weilova domněnka, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (3)], 13, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-12175-6, PAN  0926276