Konvergence Gromov – Hausdorff - Gromov–Hausdorff convergence

v matematika, Konvergence Gromov – Hausdorff, pojmenoval podle Michail Gromov a Felix Hausdorff, je pojem pro konvergenci metrické prostory což je zobecnění Hausdorffova konvergence.

Vzdálenost Gromov – Hausdorff

Jak daleko a jak blízko jsou nějaká čísla pod Gromov – Hausdorffovou vzdáleností.

Vzdálenost Gromov – Hausdorff byla zavedena Davidem Edwardsem v roce 1975,[1][2] a to bylo později znovuobjeveno a zobecněno Michail Gromov v roce 1981.[3][4] Tato vzdálenost měří, jak daleko dvě kompaktní metrické prostory jsou od bytí izometrické. Li X a Y jsou tedy dva kompaktní metrické prostory dGH (X, Y) je definován jako infimum všech čísel dH(F(X), G(Y)) pro všechny metrické prostory M a všechny izometrické vložení F : X → M a G : Y → M. Tady dH označuje Hausdorffova vzdálenost mezi podmnožinami v M a izometrické vkládání je chápán v globálním smyslu, tj. musí zachovávat všechny vzdálenosti, nejen nekonečně malé; například žádný kompaktní Riemannovo potrubí připouští takové vložení do Euklidovský prostor stejné dimenze.

Vzdálenost Gromov – Hausdorff proměňuje množinu všech izometrických tříd kompaktních metrických prostorů na metrický prostor zvaný Gromov – Hausdorffův prostor, a proto definuje pojem konvergence pro sekvence kompaktních metrických prostorů, nazývaných Gromov – Hausdorffova konvergence. Metrický prostor, ke kterému taková posloupnost konverguje, se nazývá Gromov – Hausdorffův limit posloupnosti.

Některé vlastnosti prostoru Gromov – Hausdorff

Prostor Gromov – Hausdorff je spojeno s cestou, kompletní, a oddělitelný.[5] Je to také geodetické, tj. kterékoli dva z jeho bodů jsou koncovými body minimalizace geodetické.[6] V globálním smyslu je prostor Gromov – Hausdorff zcela heterogenní, tj. Jeho izometrická skupina je triviální,[7] ale lokálně existuje mnoho netriviálních izometrií.[8]

Špičková konvergence Gromov – Hausdorff

Špičatá Gromov – Hausdorffova konvergence je analogem Gromov – Hausdorffovy konvergence vhodné pro nekompaktní prostory. Špičatý metrický prostor je pár (X,p) sestávající z metrického prostoru X a ukázat p v X. Sekvence (Xn, strn) špičatých metrických prostorů konverguje k špičatému metrickému prostoru (Y, p) pokud pro každého R > 0, sekvence uzavřena R- koule kolem pn v Xn konverguje k uzavřenému R- koule kolem p v Y v obvyklém smyslu Gromov – Hausdorff.[9]

Aplikace

Pojem konvergence Gromov-Hausdorff poprvé použil Gromov k prokázání toho diskrétní skupina s polynomiální růst je prakticky nilpotentní (tj. obsahuje a nilpotentní podskupina konečný index ). Vidět Gromovova věta o skupinách polynomiálního růstu. (Pro dřívější dílo viz také D. Edwards.) Klíčovou složkou důkazu bylo pozorování proCayleyův graf skupiny s polynomiálním růstem konverguje posloupnost škálování ve špičatém smyslu Gromov – Hausdorff.

Další jednoduchý a velmi užitečný výsledek v Riemannova geometrie je Gromovova věta o kompaktnosti, který uvádí, že množina Riemannovských variet s Ricciho zakřivení  ≥ C a průměr  ≤ D je relativně kompaktní v metrice Gromov – Hausdorff. Mezní prostory jsou metrické prostory. Další vlastnosti prostorů délky byly prokázány Cheeger a Nachlazení.[10]

Metrika vzdálenosti Gromov – Hausdorff byla použita v oblasti počítačové grafiky a výpočetní geometrie k nalezení shody mezi různými tvary.[11]

Vzdálenost Gromov – Hausdorff byla použita Sormani aby prokázal stabilitu Friedmannova modelu v kosmologii. Tento model kosmologie není stabilní, pokud jde o plynulé variace metriky.[12]

Ve zvláštním případě s konceptem limitů Gromov – Hausdorff úzce souvisí Teorie velkých odchylek.[13]

Metrika vzdálenosti Gromov – Hausdorff byla použita v neurovědě k porovnání mozkových sítí.[14]

Reference

  1. ^ David A. Edwards, „Struktura superprostoru“, „Studie topologie“, Academic Press, 1975, pdf
  2. ^ A. Tuzhilin, „Kdo vynalezl vzdálenost Gromov – Hausdorff? (2016)“, arXiv:1612.00728
  3. ^ M. Gromov. „Structures métriques pour les variétés riemanniennes“, editoval Lafontaine a Pierre Pansu, 1981.
  4. ^ M. Gromov, Skupiny polynomiálního růstu a rozšiřování map, Publikační matematika I.H.É.S., 53, 1981
  5. ^ D. Burago, Yu. Burago, S. Ivanov, Kurz metrické geometrie, AMS GSM 33, 2001.
  6. ^ A.Ivanov, N.Nikolaeva, A.Tuzhilin (2015), Metrika Gromov – Hausdorff v prostoru kompaktních metrických prostorů je přísně vnitřní, arXiv:1504.03830. Pro explicitní konstrukci geodetik viz Chowdhury, S., & Mémoli, F. (2016). „Konstrukce geodetiky v prostoru kompaktních metrických prostorů.“ arXiv:1603.02385.
  7. ^ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), Izometrická skupina prostoru Gromov – Hausdorff, arXiv:1806.02100
  8. ^ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2016), Místní struktura prostoru Gromov – Hausdorff poblíž konečných metrických prostorů v obecné poloze, arXiv:1611.04484
  9. ^ André Bellaïche (1996), „Tečný prostor v sub-Riemannově geometrii“, André Bellaïche; Jean-Jacques Risler (eds.), Sub-Riemannova geometriePokrok v matematice, 144, Birkhauser, str. 56
  10. ^ Cheeger-Colding: Na struktuře prostorů s Ricciho zakřivením ohraničeným pod I
  11. ^ Mémoli, F. a Sapiro, G. (2004, červenec). Porovnávání mračen bodů. In Proceedings of the Eurographics / ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing (s. 32–40). ACM.
  12. ^ Sormani: Friedmannova kosmologie a téměř izotropie
  13. ^ Kotani M., Sunada T., Velká odchylka a tečný kužel v nekonečnu krystalové mřížky, Math. Z. 254, (2006), 837–870.
  14. ^ Lee, H., Chung, M., Kang, H., Kim, B-N., Lee, D. S. (2011) Výpočet tvaru mozkových sítí pomocí grafické filtrace a metriky Gromov – Hausdorff MICCAI 2011, část II, LNCS 6892, s. 302–309
  • M. Gromov. Metrické struktury pro Riemannovy a neriemannovské prostory, Birkhäuser (1999). ISBN  0-8176-3898-9 (překlad s dalším obsahem).