Rovnice středu - Equation of the center

Simulovaný pohled na objekt v eliptická dráha, jak je patrné z soustředit se z obíhat. Pohled se otáčí s znamenat anomálii, takže se zdá, že objekt osciluje tam a zpět přes tuto střední polohu s rovnice středu. Zdá se také, že objekt se zmenšuje a zvětšuje, protože se pohybuje dále a blíže kvůli excentricita oběžné dráhy. Značka (červená) ukazuje polohu periapsis.

v dvě těla, Keplerian orbitální mechanika, rovnice středu je úhlový rozdíl mezi skutečnou polohou tělesa v jeho eliptická dráha a pozice, kterou by zaujímal, kdyby byl jeho pohyb jednotný, v a kruhová dráha stejného období. Je definován jako rozdíl skutečná anomálie, $ν$ , mínus znamenat anomálii, $M$ , a je obvykle vyjádřena funkcí průměrné anomálie, $M$ , a orbitální výstřednost, $E$ .^[1]

Diskuse

Od starověku se problém předvídání pohybů nebeských těles zjednodušil snížením na jedno tělo na oběžné dráze kolem druhého. Při výpočtu polohy těla kolem jeho oběžné dráhy je často vhodné začít předpokládáním kruhového pohybu. Tato první aproximace je pak jednoduše konstantní úhlová rychlost vynásobená množstvím času. Existují různé metody postupu k opravě přibližné kruhové polohy k poloze vytvořené eliptickým pohybem, z nichž mnohé jsou složité a mnohé zahrnují řešení Keplerova rovnice. Naproti tomu rovnice středu je jednou z nejjednodušších metod.

V případech malých excentricita, poloha daná rovnicí středu může být téměř stejně přesná jako jakákoli jiná metoda řešení problému. Mnoho zajímavých oběžných drah, například těl těles v Sluneční Soustava nebo umělé Země satelity, mají tyto téměř -kruhové dráhy. Jak se výstřednost zvětšuje a oběžné dráhy jsou eliptičtější, přesnost rovnice klesá a zcela selhává při nejvyšších hodnotách, proto se pro takové oběžné dráhy nepoužívá.

Rovnici v její moderní podobě lze zkrátit na libovolné libovolné úrovni přesnosti, a pokud je omezena pouze na nejdůležitější pojmy, může vytvořit snadno vypočítatelnou aproximaci skutečné polohy, když plná přesnost není důležitá. Takové aproximace lze použít například jako výchozí hodnoty pro iterativní řešení Keplerova rovnice,^[1] nebo při výpočtu doby náběhu nebo nastavení, které kvůli atmosférickým vlivům nelze předpovědět s velkou přesností.

The starověcí Řekové, zejména Hipparchus, znal rovnici středu jako prostaferéza, i když jejich chápání geometrie pohybu planet nebylo stejné.^[2] Slovo rovnice (latinský, aequatio, -onis) v současném smyslu pochází z astronomie. Bylo specifikováno a použito Kepler, tak jako proměnná veličina určená výpočtem, která musí být přidána nebo odečtena od středního pohybu, aby se získal skutečný pohyb. V astronomii, termín rovnice času má podobný význam.^[3] Rovnice centra v moderní podobě byla vyvinuta jako součást rozrušení analýza, tedy studie účinků a třetí tělo na pohyb dvou těl.^[4]^[5]

Rozšíření série

Maximální chyba rozšíření série rovnice středu, v radiány, jako funkce orbitální výstřednost (spodní osa) a Napájení z E ve kterém je řada zkrácena (pravá osa). Uvědomte si, že při nízké excentricitě (levá strana grafu) nemusí být řada přenášena do vysokého řádu, aby poskytovala přesné výsledky.

Sériově rozšířená rovnice středu jako funkce znamenat anomálii pro různé výstřednosti, s rovnicí středu zkrácenou na E⁷ pro všechny křivky. Všimněte si, že zkrácená rovnice selže při vysoké excentricitě a vytvoří oscilační křivka.

V Keplerianově pohybu souřadnice těla sledují stejné hodnoty s každou oběžnou dráhou, což je definice a periodická funkce. Tyto funkce lze vyjádřit jako periodická řada jakékoli neustále se zvyšující úhlové proměnné,^[6] a nejzajímavější proměnnou je znamenat anomálii, $M$ . Protože se zvyšuje rovnoměrně s časem, vyjádření jakékoli jiné proměnné jako řady ve střední anomálii je v podstatě stejné jako vyjádření z hlediska času. Protože excentricita, $E$ Pokud má orbita malou hodnotu, lze koeficienty řady vyvinout z hlediska mocnin $E$ .^[5] Všimněte si, že i když tyto řady mohou být prezentovány ve zkrácené formě, představují součet nekonečný počet termínů.^[7]

Série pro $ν$ , skutečná anomálie lze nejpohodlněji vyjádřit pomocí $M$ , $E$ a Besselovy funkce prvního druhu,^[8]

{ displaystyle nu = M + 2 součet _ {s = 1} ^ { infty} { frac {1} {s}} vlevo {J_ {s} (se) + součet _ {p = 1} ^ { infty} beta ^ {p} left [J_ {sp} (se) + J_ {s + p} (se) right] right } sin sM,}

kde

{ displaystyle J_ {n} (se)}

jsou Besselovy funkce a

{ displaystyle beta = { frac {1} {e}} vlevo (1 - { sqrt {1-e ^ {2}}} vpravo).}

^[9]

Výsledek je v radiány.

Besselovy funkce lze rozšířit pomocí pravomocí $X$ podle,^[10]

{ displaystyle J_ {n} (x) = { frac {1} {n!}} vlevo ({ frac {x} {2}} vpravo) ^ {n} součet _ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} { frac { vlevo ({ frac {x} {2}} vpravo) ^ {2m}} {m! prod _ {k = 1} ^ {m} (n + k)}}}

a $β m$ podle,^[11]

{ displaystyle beta ^ {m} = vlevo ({ frac {e} {2}} vpravo) ^ {m} vlevo [1 + m součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(2n + m-1)!} {n! (n + m)!}} left ({ frac {e} {2}} right) ^ {2n} right].}

Substituce a redukce, rovnice pro $ν$ se stane (zkrácen na objednávku $E 7$ ),^[8]

{ displaystyle { begin {aligned} nu = M & + left (2e - { frac {1} {4}} e ^ {3} + { frac {5} {96}} e ^ {5} + { frac {107} {4608}} e ^ {7} vpravo) sin M & {} + vlevo ({ frac {5} {4}} e ^ {2} - { frac {11} {24}} e ^ {4} + { frac {17} {192}} e ^ {6} vpravo) sin 2M & {} + vlevo ({ frac {13} { 12}} e ^ {3} - { frac {43} {64}} e ^ {5} + { frac {95} {512}} e ^ {7} right) sin 3M & { } + left ({ frac {103} {96}} e ^ {4} - { frac {451} {480}} e ^ {6} right) sin 4M & {} + left ({ frac {1097} {960}} e ^ {5} - { frac {5957} {4608}} e ^ {7} right) sin 5M & {} + { frac {1223} {960}} e ^ {6} sin 6M + { frac {47273} {32256}} e ^ {7} sin 7M + cdots end {zarovnáno}}}

a podle definice, pohybující se $M$ na levou stranu,

${ displaystyle nu -M = left (2e - { frac {1} {4}} e ^ {3} + { frac {5} {96}} e ^ {5} + { frac {107 } {4608}} e ^ {7} vpravo) sin M + cdots}$

dává rovnici středu.

Tato rovnice je někdy odvozena alternativním způsobem a je prezentována z hlediska pravomocí $E$ s koeficienty ve funkcích $hřích M$ (zkráceno na objednávku $E 6$ ),

{ displaystyle { begin {aligned} nu = M & {} + 2e sin M + { frac {5} {4}} e ^ {2} sin 2M & {} + { frac {e ^ {3}} {12}} (13 sin 3M-3 sin M) & {} + { frac {e ^ {4}} {96}} (103 sin 4M-44 sin 2M) & {} + { frac {e ^ {5}} {960}} (1097 sin 5M-645 sin 3M + 50 sin M) & {} + { frac {e ^ {6 }} {960}} (1223 sin 6M-902 sin 4M + 85 sin 2M) + cdots end {zarovnáno}}}

který je totožný s výše uvedeným formulářem.^[12]^[13]

Pro malé $E$ , řada rychle konverguje. Li $E$ přesahuje 0,6627 ..., u některých hodnot se liší $M$ , poprvé objeven uživatelem Pierre-Simon Laplace.^[12]^[14]

Příklady

	orbitální výstřednost^[15]	maximální rovnice středu (řada zkrácena, jak je znázorněno)
	orbitální výstřednost^[15]	E⁷	E³	E²
Venuše	0.006777	0.7766°	0.7766°	0.7766°
Země	0.01671	1.915°	1.915°	1.915°
Saturn	0.05386	6.174°	6.174°	6.186°
Mars	0.09339	10.71°	10.71°	10.77°
Rtuť	0.2056	23.68°	23.77°	23.28°

Viz také

Reference

^ ^A ^b Vallado, David A. (2001). Základy astrodynamiky a aplikací (druhé vydání). Microcosm Press, El Segundo, CA. str. 82. ISBN 1-881883-12-4.
^ Narrien, John (1833). Historický popis vzniku a pokroku astronomie. Baldwin a Cradock, Londýn. str.230 –231.
^ Capderou, Michel (2005). Dráhy a mise satelitů. Springer-Verlag. str.23. ISBN 978-2-287-21317-5.
^ Moulton, Forest Ray (1914). Úvod do nebeské mechaniky (druhé přepracované vydání). Macmillan Co., New York. str. 165., na Knihy Google
^ ^A ^b Inteligentní, W. M. (1953). Nebeská mechanika. Longmans, Green and Co., London. str. 26.
^ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Metody nebeské mechaniky. Academic Press, New York a London. str.60.
^ Vallado, David A. (2001). str. 80
^ ^A ^b Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). str. 77.
^ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). str. 62.
^ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). str. 68.
^ Inteligentní, W. M. (1953). str. 32.
^ ^A ^b Moulton, Forest Ray (1914). 171–172.
^ Danby, J.M.A. (1988). Základy nebeské mechaniky. Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA. 199–200. ISBN 0-943396-20-4.
^ Plummer, H. C. (1918). Úvodní pojednání o dynamické astronomii. Cambridge University Press. str.46 –47.
^ Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E., eds. (2013). Vysvětlující dodatek k Astronomickému almanachu (3. vyd.). University Science Books, Mill Valley, CA. str. 338. ISBN 978-1-891389-85-6.

Další čtení

Marth, A. (1890). Na výpočtu rovnice středu na eliptických drahách střední excentricity. Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti, sv. 50, str. 502. Dává rovnici středu na objednávku E¹⁰.
Morrison, J. (1883). Na výpočtu excentrické anomálie, rovnice středu a poloměru vektoru planety, z hlediska střední anomálie a excentricity. Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti, sv. 43, s. 345. Dává rovnici středu na objednávku E¹².
Morrison, J. (1883). Errata. Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti, sv. 43, s. 494.

[Vallado82-1] A ^b Vallado, David A. (2001). Základy astrodynamiky a aplikací (druhé vydání). Microcosm Press, El Segundo, CA. str. 82. ISBN 1-881883-12-4.

[2] Narrien, John (1833). Historický popis vzniku a pokroku astronomie. Baldwin a Cradock, Londýn. str.230 –231.

[3] Capderou, Michel (2005). Dráhy a mise satelitů. Springer-Verlag. str.23. ISBN 978-2-287-21317-5.

[4] Moulton, Forest Ray (1914). Úvod do nebeské mechaniky (druhé přepracované vydání). Macmillan Co., New York. str. 165., na Knihy Google

[Smart26-5] A ^b Inteligentní, W. M. (1953). Nebeská mechanika. Longmans, Green and Co., London. str. 26.

[6] Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Metody nebeské mechaniky. Academic Press, New York a London. str.60.

[7] Vallado, David A. (2001). str. 80

[B&C77-8] A ^b Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). str. 77.

[9] Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). str. 62.

[10] Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). str. 68.

[11] Inteligentní, W. M. (1953). str. 32.

[Moulton171-12] A ^b Moulton, Forest Ray (1914). 171–172.

[13] Danby, J.M.A. (1988). Základy nebeské mechaniky. Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA. 199–200. ISBN 0-943396-20-4.

[14] Plummer, H. C. (1918). Úvodní pojednání o dynamické astronomii. Cambridge University Press. str.46 –47.

[15] Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E., eds. (2013). Vysvětlující dodatek k Astronomickému almanachu (3. vyd.). University Science Books, Mill Valley, CA. str. 338. ISBN 978-1-891389-85-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]