Geometrický tok - Geometric flow
v matematika konkrétně diferenciální geometrie, a geometrický tok je gradientní tok přidružené k funkčnímu na a potrubí který má geometrický výklad, obvykle spojený s některými vnější nebo vnitřní zakřivení. Mohou být interpretovány jako toky na a moduli prostor (pro vnitřní toky) nebo a prostor parametrů (pro vnější toky).
Jedná se o základní zájem o variační počet a zahrnují několik slavných problémů a teorií. Obzvláště zajímavé jsou jejich kritické body.
Geometrický tok se také nazývá a rovnice geometrického vývoje.
Příklady
Vnější
Vnější geometrické toky jsou toky vložené dílčí rozdělovače nebo obecnějiponořené dílčí potrubí. Obecně mění jak Riemannovu metriku, tak i ponoření.
- Střední tok zakřivení, jako v mýdlové filmy; kritické body jsou minimální povrchy
- Průběh zkrácení křivky, jednorozměrný případ středního toku zakřivení
- Willmore teče, jako v minimax eversions koulí
- Obrácený střední tok zakřivení
Vnitřní
Vnitřní geometrické toky jsou toky na Riemannova metrika, nezávisle na jakémkoli vložení nebo ponoření.
- Ricciho tok, jako v řešení Poincarého domněnky, a Richard S. Hamilton je důkaz o věta o uniformizaci
- Tok Calabi, tok pro Kählerovy metriky
- Tok Yamabe
Třídy toků
Důležité třídy toků jsou tok zakřivení, variační toky (které extremizují některé funkční) a toky vznikající jako řešení parabolické parciální diferenciální rovnice. Daný tok často připouští všechny tyto interpretace, a to následovně.
Vzhledem k eliptický operátor Lparabolické PDE poskytuje tok a stacionární stavy pro tok jsou řešením eliptická parciální diferenciální rovnice .
Pokud rovnice je Euler-Lagrangeova rovnice pro některé funkční F, pak má tok variační interpretaci jako gradientní tok Fa stacionární stavy toku odpovídají kritickým bodům funkcionálu.
V kontextu geometrických toků je často funkční L2 norma nějakého zakřivení.
Vzhledem k tomu, zakřivení K., lze definovat funkční , který má Euler-Lagrangeovu rovnici pro nějakého eliptického operátora La související parabolické PDE .
The Ricciho tok, Tok Calabi, a Tok Yamabe vznikají tímto způsobem (v některých případech s normalizacemi).
Tok zakřivení může, ale nemusí zachovat objem (tok Calabi ano, zatímco tok Ricci nikoliv), a pokud ne, může tok jednoduše zmenšit nebo zvětšit potrubí, spíše než regularizovat metriku. Tak se často normalizuje průtok, například fixací objemu.
Reference
- Bakas, Ioannis (14. října 2005) [28. července 2005 (v1)]. "Algebraická struktura geometrických toků ve dvou rozměrech". Journal of High Energy Physics. 2005 (10): 038. arXiv:hep-th / 0507284. Bibcode:2005JHEP ... 10..038B. doi:10.1088/1126-6708/2005/10/038.
- Bakas, Ioannis (5. února 2007). "Renormalizační skupinové rovnice a geometrické toky". arXiv:hep-th / 0702034. Bibcode:2007hep.th .... 2034B. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc)